Теорема о гомоморфизме колец

Теорема о гомоморфизме колец:

Если — гомоморфизм кольца на кольцо, то ядро является идеалом кольца, причём кольцо изоморфно факторкольцу.

Обратно: если — идеал кольца, то отображение, определяемое условием является гомоморфизмом кольца на с ядром.

Факторкольцо кольца целых чисел по модулю главного идеала, порождённого простым числом, является полем.

Идеал кольца является простым (максимальным) в том и только в том случае, когда факторкольцо является целостным кольцом (полем).

51. Определение и свойства полей.

52. Поле вычетов.

53. Простое поле. Теорема о изоморфизме простого поля.

54. Основные понятия теории графов.

55. Маршруты в графах.

51) Определение и свойства полей.

Поле – это коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный относительно умножения, это формальное обобщение понятия действительных чисел, это система, в которой можно выполнять 4 арифметических действия (+,-,/,*)

Отметим некоторые свойства полей, вытекающие из их определения.

1. Для любого элемента поля .

2. Для ненулевых элементов и поля .

3. Для любых элементов и поля .

4. Если и , то .

52) Поле вычетов.

Минимальное натуральное n такое, что ne = e +... + e= 0,

| {n }

где e_ единичный

элемент. Если это не верно ни для какого натурального числа, говорят, что поле

имеет характеристику нуль.