Править] Примеры

y '' + 9 y = 0 — однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решением является семейство функций y = (C ₁cos(3 x) + C ₂sin(3 x)), где C ₁ и C ₂ — произвольные константы.

Второй закон Ньютона можно записать в форме дифференциального уравнения , где m — масса тела, x — его координата, F (x, t) — сила, действующее на тело с координатой x в момент времени t. Его решением является траектория движения тела под действием указанной силы.

Колебание струны задается уравнением , где u = u (x, t) — отклонение струны в точке с координатой x в момент времени t, параметр a задает свойства струны. Это так называемое волновое уравнение.

Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение первого порядка вида

где X (x) и Y (y) — непрерывные функции.

Общий интеграл уравнения задается выражением

Решение y = y (x) задачи Коши y (x ₀) = y ₀ как неявную функцию переменной x задает выражение

ПРИМЕР 1. Уравнение с разделяющимися переменными. Общее решение.

ПРИМЕР 2. Уравнение с разделяющимися переменными. Решение задачи Коши.

Заметим, что если Y (y*) = 0 в некоторой точке y*, то уравнение
y ' = Y (y) X (x) имеет решение y (x) = y* при всех допустимых x.
Все решения системы исчерпываются выражениями y (x) = y* и

ПРИМЕР 3. Уравнение с разделяющимися переменными, имеющее два семейства решений.

ПРИМЕР 4. Уравнение с разделяющимися переменными, имеющее несколько семейств решений.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида

или

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Заметим, что в данных дифференциальных уравнениях каждая из функций зависит только от одной переменной, т.е. происходит разделение переменных.

Для решения такого дифференциального уравнения необходимо домножить или разделить обе части дифференциального уравнения на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входили только функции от и , в другую часть уравнения - только функции от , . Затем в полученном дифференциальном уравнении надо проинтегрировать обе части:

Следует заметить, что при делении обеих частей дифференциального уравнения на выражение, содержащее неизвестные и , могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в ноль.

Обратим внимание, что дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными легко сводятся к интегрированию. В общем случае получаем получаем два неопределенных интеграла.