Уравнения с разделяющимися переменными. Наиболее простым ДУ первого порядка является, уравнение виДа

Наиболее простым ДУ первого порядка является, уравнение виДа

P(x)•dz+Q(y)•dy=0. (2.5)

В нем одно слагаемое зависит только от х, а другое - от у. Иногда такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:

- его общий интеграл.

Пример 2.2. Найти общий интеграл уравнения х•dx+у•dy=0.

Решение: Данное уравнение есть ДУ с разделенными переменными. Поэтому Обозначим с/2=c_1. Тогда х²-y2=с - общий интеграл ДУ.

Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид

Особенность уравнения (2.6) в том, что коэффициенты при dx и dY представляют собой произведения двух функций (чисел), одна из которых зависит только от х, другая - только от у.

Уравнение (2.6) легко сводится к уравнению (2.5) путем почленного деления его на Q₁(у)•Р₂(х)≠0. Получаем:

- общий интеграл.

Замечания.

1. При проведении почленного деления ДУ на Q₁(y)•Р₂(х) могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение Q1(у)•Р2(х)=0 и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего решения, - особые решения.

2. Уравнение y^'=ƒ₁(х)•ƒ₂(y) также сводится к уравнению с разделенными переменными. Для этого достаточно положить и разделить переменные.

3. Уравнение y^'=ƒ(ах+by+с), где а,b,с - числа, путем замены ах+by+с=u сводится к ДУ с разделяющимися переменными. Дифференцируя по х, получаем:

Данное уравнение принимает вид откуда следует

Интегрируя это уравнение и заменяя u на ах+by+с, получим общий интеграл исходного уравнения.

Пример 2.3. Решить уравнение (y+xy) •dx+(х-xy)•dy=0.

Решение: Преобразуем левую часть уравнения:

у•(1+х) • dx+х • (1-у)•dу=0.

Оно имеет вид (2.6). Делим обе части уравнения на ху≠0:

Решением его является общий интеграл х+ln|x|+ln|y|-у=с, т. е. ln|ху|+х-у=с.

Здесь уравнение Q₁(у)•Р₂(х)=0 имеет вид ху=0. Его решения х=0, у=0 являются решениями данного ДУ, но не входят в общий интеграл. Значит, решения х=0, у=0 являются особыми.

Пример 2.4. Решить уравнение удовлетворяющее условию у(4)=1

Решение: Этот пример представляет собой решение задачи 2 из п. 1.2. Имеем: Проинтегрировав, получим:

т. е. - общее решение ДУ.

Оно представляет собой, геометрически, семейство равносторонних гипербол. Выделим среди них одну, проходящую через точку (4; 1). Подставим х=4 и у=1 в общее решение уравнения: 1=c/4, с=4.

Получаем: - частное решение уравнения

Пример 2.5. Найти общее решение ДУ

Решение: Этот пример демонстрирует решение задачи 1 из п. 1.2. Приведем данное уравнение к виду (2.5):

Интегрируем: Отсюда - общее решение уравнения.

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

(Перенаправлено с Дифференциальные уравнения)

Перейти к: навигация, поиск

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. Дифференциальное уравнение содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные; однако не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, не является дифференциальным уравнением. Стоит также отметить, что дифференциальное уравнение может вообще не содержать неизвестную функцию, некоторые её производные и свободные переменные, но обязано содержать хотя бы одну из производных.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наибольший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y '(x), y ''(x),..., y ⁽ⁿ⁾(x) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Вопрос об интегрировании дифференциального уравнения считается решенным, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

Первоначально дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции времени.