Билет №22 Дифференциальное уравнение

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ

Основные понятия

При решении различных задач математики, физики, химии и других наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, связывающих независимую переменцую, искомую функцию и ее производные. Такие уравнения называются диффepeнциaльными (термин принадлежит Г.Лейбницу, 1676 г.). Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Так, решением уравнения y'=ƒ(х) является функция y=F(x) - первообразная для функции ƒ(x)_,

Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных уравнениях (ДУ).

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае - ДУ в частных производных. Далее будем рассматривать только обыкновенные ДУ.

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется порядком этого уравнения.

Например, уравнение y^'''- Зy''+2у=0 - обыкновенное ДУ третьего порядка, а уравнение х²y'+5хy=y² - первого порядка; у • z'x=х • z'y - ДУ в частных производных первого порядка.

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а график решения ДУ - интегральной кривой.

Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям.