Билеты №11, 12 Производные и дифференциалы функции нескольких переменных

Додати до моєї бази знань

Математика

44.1. Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование

Пусть задана функция z = ƒ (х; у). Так как х и у — независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной х приращение Δх, сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по х и обозначается ∆_хz. Итак,

Δ_хz=ƒ(х+Δх;у)-ƒ(х;у).

Аналогично получаем частное приращение z по у:

Δ_уz=ƒ(x;у+Δу)-ƒ(х;у).

Полное приращение Δz функции z определяется равенством

Δz = ƒ(х + Δх;у + Δу)- ƒ(х; у).

Если существует предел

то он называется частной производной функции z = ƒ (х; у) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается одним из символов:

Частные производные по х в точке М₀(х₀;у₀) обычно обозначают символами

Аналогичноопределяется и обозначается частная производная от z=ƒ(х;у) по переменной у:

Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции ƒ(х;у) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно х или у считается постоянной величиной).

Пример 44.1. Найти частные производные функции z = 2у + е^{х2-у +1}. Решение:

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных

Графиком функции z= ƒ (х; у) является некоторая поверхность (см. п. 12.1). График функции z = ƒ (х; у₀) есть линия пересечения этой поверхности с плоскостью у = у_о. Исходя из геометрического смысла производной для функции одной переменной (см. п. 20.2), заключаем, что ƒ'x(х_о;у_о) = tg а, где а — угол между осью Ох и касательной, проведенной к кривой z = ƒ (х; у₀) в точке Мо(хо;уо; ƒ(хо;уо)) (см. рис. 208).

Аналогично, f'y (х₀;у₀)=tgβ.

44.2. Частные производные высших порядков

Частные производные называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х;у) є D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. порядков.

Так, и т.д.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например,

Пример 44.2. Найти частные производные второго порядка функции z = x⁴-2x2y³+y⁵+1.

Решение: Так как то

Оказалось, что

Этот результат не случаен. Имеет место теорема, которую приведем без доказательства.

Теорема 44.1 (Шварц). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В настности, для z=ƒ(х; у) имеем:

44.3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции

Пусть функция z =ƒ (х; у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у). Составим полное приращение функции в точке М:

Функция z = ƒ (х; у) называется дифференцируемой в точке М(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

где а = а(Δх, Δу)→0 и β=β(Δх,Δу)→0 при Δх→0, Δу→0. Сумма первых двух слагаемых в равенстве (44.1) представляет собой главную часть приращения функции.

Главная часть приращение функции z=ƒ(х;у), линейная относительно Δх и Δу, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:

dz=A*Δx+B*Δy. (44.2)

Выражения А•Δх и В•Δу называют частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают Δх=dx и Δу=dy. Поэтому равенство (44.2) можно переписать в виде

dz=Adx+Bdy. (44.3)

Теорема 44.2 (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция z = ƒ(х;у) дифференцируема в точке М(х;у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные dz/dx и dz/dy, причем dz/dx = А, dz/dy = В.

Так как функция дифференцируема в точке М, то имеет место равенство (44.1). Отсюда вытекает, что Это означает, что функция непрерывна в точке М. Положив Δу = 0, Δх ≠ 0 в равенстве (44.1), получим: Δz = А • Δх + а • Δх. Отсюда находим Переходя

к пределу при Δх → 0, получим

Таким образом, в точке М существует частная производная ƒ'x(х;у) = А. Аналогично доказывается, что в точке М существует частная производная

Равенство (44.1) можно записать в виде

где =аΔх+βΔу→0 при Δх → 0, Δу → 0.

Отметим, что обратное утверждение не верно, т. е. из непрерывности функции или существования частных производных не следует дифференцируемость функции. Так, непрерывная функция не дифференцируема в точке (0;0).

Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула (44.3) принимает вид:

или

где — частные дифференциалы функции z=ƒ(х;у).

Теорема 44.3 (достаточное условие дифференцируемости функции). Если функция z = ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные z'_x и z'_y в точке М(х;у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой (44.5).

Примем теорему без доказательства.

Отметим, что для функции у=ƒ(х) одной переменной существование производной ƒ'(х) в точке является необходимым и достаточным условием ее дифференцируемости в этой точке.

Чтобы функция z=ƒ(х;у) была дифференцируема в точке, необходимо, чтобы она имела в ней частные производные, и достаточно, чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.

Арифметические свойства и правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и для дифференциалов функции двух (и большего числа) переменных.

44.4. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям

Из определения дифференциала функции z=ƒ (х; у) следует, что при достаточно малых |Δх| и |Δу| имеет место приближенное равенство

Так как полное приращение Δz=ƒ(х+Δх;у+Δу)-ƒ(х;у), равенство (44.6) можно переписать в следующем виде:

Формулой (44.7) пользуются в приближенных расчетах.

Пример 44.3. Вычислить приближенно 1,02^3,01.

Решение: Рассмотрим функцию z = х^у. Тогда 1,02^3,01 = (х + Δх)у+∆у, где х = 1, Δх = 0,02, у = 3, Δу = 0,01. Воспользуемся формулой (44.7), предварительно найдя Следовательно,

Для сравнения: используя микрокалькулятор, находим: 1,02^3,01 ≈ 1,061418168.

Отметим, что с помощью полного дифференциала можно найти: границы абсолютной и относительной погрешностей в приближенных вычислениях; приближенное значение полного приращения функции и т. д.

44.5. Дифференциалы высших порядков

Введем понятие дифференциала высшего порядка. Полный дифференциал функции (формула (44.5)) называют также дифференциалом первого порядка.

Пусть функция z=ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле (d²z = d(dz). Найдем его:

Отсюда: Символически это записывается так:

Аналогично можно получить формулу для дифференциала третьего порядка:

где

Методом математической индукции можно показать, что

Отметим, что полученные формулы справедливы лишь в случае, когда переменные х и у функции z = ƒ(х;у) являются независимыми.

Пример 44.4. (Для самостоятельного решения.) Найти d²z, если z=х³у².

Ответ: d²z=бху²dx²+12х²уdxdy+2х³dy².

44.6. Производная сложной функции. Полная производная

Пусть z=ƒ(х;у) — функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t: х = x(t), у = y(t). В этом случае функция z = f(x(t);y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у — промежуточные переменные.

Теорема 44.4. Если z = ƒ(х;у) — дифференцируемая в точке М(х;у) є D функция и х = x(t) и у = y(t) — дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) = f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле

Дадим независимой переменной t приращение Δt. Тогда функции х = = x(t) и у = y{t) получат приращения Δх и Δу соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение Az функции z.

Так как по условию функция z — ƒ(х;у) дифференцируема в точке М(х; у), то ее полное приращение можно представить в виде

где а→0, β→0 при Δх→0, Δу→0 (см. п. 44.3). Разделим выражение Δz на Δt и перейдем к пределу при Δt→0. Тогда Δх→0 и Δу→0 в силу непрерывности функций х = x(t) и у = y(t) (по условию теоремы — они дифференцируемые). Получаем:

т. е.

или

Частный случай: z=ƒ(х;у), где у=у(х), т. е. z=ƒ(х;у(х)) — сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (44.8) имеем:

Формула (44.9) носит название формулы полной производной.

Общий случай: z=ƒ(х;у), где x=x(u;v), у=у(u;v). Тогда z= f(x(u;v);y(u;v)) — сложная функция независимых переменных u и v. Ее частные производные можно найти, используя формулу (44.8) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней соответствующими частными производными

Аналогично получаем:

Таким образом, производная сложной функции (z) по каждой независимой переменной (u и v) равна сумме произведений частных производных этой функции (z) по ее промежуточным переменным (х и у) на их производные по соответствующей независимой переменной (u и v).

Пример 44.5. Найти если z=ln(x²+у²), х=u•v, у=u/v.

Решение: Найдем dz/du (dz/dv — самостоятельно), используя формулу (44.10):

Упростим правую часть полученного равенства:

т. е.

44.7. Инвариантность формы полного дифференциала

Используя правило дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности: полный дифференциал функции z=ƒ(х;у) сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.

Пусть z=ƒ(х;у), где х и у — независимые переменные. Тогда полный дифференциал (1-го порядка) функции имеет вид

(формула (44.5)).

Рассмотрим сложную функцию z=ƒ(х;у), где х = x(u;v), у = y(u;v), т. е. функцию z = f(x(u;v);y(u;v)) = F(u;v;), где u и v — независимые переменные. Тогда имеем:

Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx и dy функций х = х(u;v) и y = y(u;v). Следовательно, и в этом случае,

44.8. Дифференцирование неявной функции

Функция z = ƒ (х; у) называется неявной, если она задается уравнением

неразрешенным относительно z. Найдем частные производные неявной функции z, заданной уравнением (44.11). Для этого, подставив в уравнение вместо z функцию ƒ (х; у), получим тождество F(x;у;ƒ (х; у)) = 0. Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:

откуда

Замечания.

а) Уравнение вида (44.11) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение х²+у²+z²-4=0 определяет функции определенные в круге х²+у²≤4, определенную в полукруге х2+у2 ≤ 4 при у≥ 0 и т. д., а уравнение cos(x + 2у +3z)- 4 = 0 не определяет никакой функции.

Имеет место теорема существования неявной функции двух переменных: если функция F(x; у; z) и ее производные F'x(x; у; z), F'y(x; у; z), F'z(x;y;z) определены и непрерывны в некоторой окрестности точки M0(x₀;y₀;z₀), причем F(x₀;y₀;z₀)=0, а F'z(x₀;y₀;z₀)≠0, то существует окрестность точки М₀, в которой уравнение (44.11) определяет единственную функцию z=ƒ(х;у), непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки (х₀;у₀) и такую, что ƒ(х₀;у₀)=z₀.

б) Неявная функция у=ƒ(х) одной переменной задается уравнением F(x;у)=0. Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле

Пример 44.6. Найти частные производные функции z, заданной уравнением e^z+z-х²у+1=0.

Решение: Здесь F(x;y;z)=e^z+z-х²у+1, F'_x=-2ху, F'_y = -х2, F'_z=e^z+1. По формулам (44.12) имеем:

Пример 44.7. Найти если неявная функция у=ƒ(х) задана уравнением у³+2у=2х.

Решение: Здесь F(x;у) = у³+2у-2х, F'_x=-2, F'_y = 3у²+2. Следовательно,