Двойной интеграл в криволинейных координатах

Пусть двойной интеграл преобразуется от прямоугольных координат { x, y } к криволинейным координатам { u,v}, связанным с прямоугольными координатами соотношениями x = x (u, v), y = y (u, v), где функции x (u, v) и y (u, v), имеют непрерывные частные производные в области D^/ плоскости uO^/v и якобиан преобразования в области D^/ не обращается в нуль:

(102)

При этом устанавливается взаимнооднозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками области D плоскости хОу и точками области D^/ плоскости uO^/v (рис. 11)

Рис. 11

Формула преобразования двойного интеграла в этом случае имеет вид

. (103)

В частности, для полярных координат

. (104)

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

,

если область D есть кольцо между окружностями x ² + y ² = e ² и x ² + y ² = e ⁴.

Решение. Здесь удобно перейти к полярным координатам. Имеем :

Внутренний интеграл возьмем по частям: u = ln r, dv = rdr; du = dr / r, v = r ²/2, получим

Итак, .

Пример 2. Вычислить двойной интеграл

,

если D – первая четверть круга .

Решение. Прейдем к полярным координатам , . Имеем

Итак, .

Пример 3. Вычислить интеграл

,

если область интегрирования D – квадрат, ограниченный прямыми х + у = 1, х – у = 1, х + у = 3, х – у = -1 (рис. 12).

Решение. Более просто этот интеграл вычислить, если перейти к новым переменным u = x + y, v = x – y. Отсюда х = (1/2)(u+ v), y = (1/2)(u -v). Найдем якобиан преобразования

т.е.

Тогда, используя формулу (103), имеем

.

Область D ^/ также является квадратом, ограниченным прямыми u = 1, v = 1; u = 3, v = -1 (рис. 13).

Учитывая границы области D ^/, получим

Итак, данный интеграл равен .