Билет №14 блеять! Правила вычисления двойных интегралов

Различают два основных вида области интегрирования:

1. Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми x = a и x = b (a < b), а снизу и сверху – непрерывными кривыми и , каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке (рис. 6).

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

. (96)

В формуле (96) вначале вычисляется интеграл , в котором х считается постоянной.

2. Область интегрирования D ограничена снизу и сверху прямыми y = c y = d (c < d), а слева и справа – непрерывными кривыми и , каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке (рис. 7).

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

. (97)

Вначале вычисляется интеграл , в котором у считается постоянной.

Правые части формул (96), (97) называются двукратными (или повторными) интегралами.

В более общих случаях области интегрирования D путем их разбиения на части всегда можно свести к двум основным, рассмотренным выше.

Пример 1. Вычислить , если область D – прямоугольник .

Решение. Можно использовать любую из формул (96), (97). Имеем

.

Здесь при вычислении внутреннего интеграла по у использовали метод интегрирования по частям: .

Пример 2. Вычислить двукратный интеграл

.

Решение. Сначала интегрируем внутренний интеграл по х, считая у постоянной, затем по у:

;

.

Мы проделали для наглядности очень подробные вычисления, форма записи которых достаточно громоздка. Обычно вычисления записывают в более коротком виде:

.

Пример 3. Вычислить двойной интеграл

,

если область D ограничена линиями y = 2 – x ², y = 2 x – 1.

Решение. Построим область D. Первая линия – парабола с вершиной в точке С (0; 2), симметричная оси Оу. Вторая линия – прямая. Из совместного решения уравнений y = 2 – x ² и y = 2 x – 1 найдем координаты точек пересечения кривых (линий): это А (–3; 7) и В (1; 1) (рис. 8).

Область интегрирования принадлежит к первому виду . Используя формулу (96), находим

Пример 4. Изменить порядок интегрирования в интеграле

.

Решение. В данном примере область интегрирования D ограничена линиями x = –1, х = 1, , y = (1 – x ²) (рис. 9) (снизу - дуга окружности, сверху – парабола). Изменим порядок интегрирования. Для этого заданную область представим в виде двух областей (второго вида): D ₁ ограниченной слева и справа ветвями параболы , и область D ₂, ограниченной дугами окружности . Имеем

Пример 5. Вычислить двойной интеграл ,

если область D ограничена линиями х = 1, y = x ², .

Решение. Построим область интегрирования D. Первая линия – прямая, параллельная оси у, вторая линия – парабола с вершиной в точке (0; 0), пересекающая первую линию в точке (1; 1), третья линия – с началом в точке (0; 0), пересекающая первую линию в точке (1; -1). Отсюда интеграл перепишем в виде

.

Вначале интегрируем по у:

Интегрируем по х:

.