Двойной интеграл в полярных координатах. Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат х, у к полярным координатам r, , связанным с прямоугольными координатами соотношениями x = rcos

Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат х, у к полярным координатам r, , связанным с прямоугольными координатами соотношениями x = r cos , y = r sin , осуществляется по формуле

. (98)

Если область интегрирования ограничена двумя лучами , выходящими из полюса, и двумя кривыми и , т.е. полюс не содержится в области интегрирования, где и - однозначные функции при и , то двойной интеграл вычисляется по формуле

, (99)

где , при этом вначале вычисляется внутренний интеграл .

Если область интегрирования содержит полюс, и любой полярный радиус пересекает границу в одной точке (так называемая звездная относительно полюса область), то двойной интеграл вычисляется по формуле

, (100)

где – полярное уравнение границы области.

В частности, при = R = const, т.е. область интегрирования есть круг с центром в полюсе, будем иметь

. (101)