Геометрические вероятности

Свойство равновозможности исходов эксперимента часто встречает­ся в практических задачах. Однако недостаток классического определе­ния состоит в конечности множества исходов. Откажемся от этого огра­ничения. Будем предполагать, что эксперимент можно представить как бросание точки наудачу в область n -мерного пространства. Пространством элементарных исходов Ω является область D. Слово «наудачу» будем понимать следующим образом: вероятность случайной точке попасть в g, , не зависит от формы и расположения g, а зависит только от раз­мера g (от mes g): Р (попасть в g) =f(mes g).

Можно показать (используя аксиомы вероятности), что в этом случае вероятность попадания в g равна отношению «размеров»:

(1)

Это соотношение является аналогом .

Задача о встрече

Два человека договорились встретиться в определенном месте в ин­тервале от 12 до 13 ч (будем считать от 0 до 1), причем момент прихода каждый выбирает случайно на отрезке [0, 1] и ждет 20 мин (1/3 ч). Какова вероятность события А = {встреча произойдет}?

Решение. Эксперимент мы представляем как бросание 2-х точек на отрезок [0, 1]. Пусть х — момент прихода 1-го, у — момент прихода 2-го. Множество всех исходов , т.е. квадрат на плоскости. Множество А исходов, благоприятствующих наступлению А, состоит из тех исходов (х, у), для которых |х—у|≤1/3: .

Соответствующая область показана на рисунке. В силу (1):

.