Следствия определения понятия вероятности

1. Вероятность невозможного события равна 0: .

Док-во: 1 = P(Ω) = P() = P(Ω) + P() = 1 + P(), где 1-е равенство есть 2-я аксиома, а 3-е равенство верно по 3-й аксиоме.

2. Вероятность противоположного события равна 1 минус вероят­ность события A: Р()=1-Р(А).

Док-во: 1 = P(Ω) = Р() = Р(А) + Р().

3. Вероятность любого события не превосходит 1: 0≤P(A)≤1.

Док-во: следует из предыдущего свойства и первой аксиомы.

4. Если А => В, то Р(А)≤Р(В).

Док-во: поскольку В = А ∪ (В\А) и события А и (В\А) несо­вместны, то Р(В) = Р(А) + Р(В\А) ≥ Р(А).

5. Формула сложения вероятностей. Для любых событий А и В: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).

Док-во: А ∪ B = А ∪ (В\А), причем А и (В\А) несовместны, и потому Р(А∪B) = Р(А) + Р(В\А) (1).

Далее, B = АB ∪ (В\А), причем АВ и (В\А) несовместны и потому Р(В) = Р(АВ) +Р(В\А) (2).

Подставляя в (1) Р(В\А) из (2), получим искомое равенство.

Следствие. Р(А+В) ≤ Р(А) + Р(В).

5а (обобщение). Формула сложения для n слагаемых:

Справедливость формулы показывается методом математической ин­дукции.

Классическое определение вероятности. Геометрические вероятности. Задача о встрече.

Пусть эксперимент имеет конечное число исходов |Ω| = n, и все исходы «равноправны» (равновозможны, равновероятны). Это означает (в силу аксиом 2 и 3), что каждому исходу эксперимента соответствует одна и та же вероятность 1/n, и, следовательно, если |A|=k, то по 3-й аксиоме ,

что означает: вероятность события есть отношение числа исходов, бла­гоприятствующих появлению события, к общему числу исходов.

Это соотношение можно обобщить. Пусть S = {А₁,..., А_т} — полная группа событий (т.е. ). Пусть все события «равноправны» (равновозможны, равновероятны). Тогда каждому событию из S соответст­вует вероятность 1/т. Если событие В состоит из r событий системы S, то , т.е. отношение числа событий, входящих в В, к общему числу событий в S.