Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Основные определения
Мы всегда предполагаем, что имеется некоторый эксперимент, результат которого заранее неизвестен и непредсказуем. Известно множество всех возможных результатов эксперимента, на котором задана вероятность . В этой схеме — элемент произвольной природы. Если же исходом эксперимента являются чисел (случайная точка в , то случайный исход называется n-мерной случайной величиной. Таким образом, и на задана вероятность , т.е. для достаточно произвольного , , задана — вероятность попадания случайной точки в .
Определение 1a. n чисел — случайный исход эксперимента, называется n -мерной случайной величиной.
n -мерная случайная величина может определяться и задаваться более общим способом. Пусть — множество исходов произвольной природы и на задана вероятность Р. Пусть на определены n функций с вещественными значениями:
Определение 1б. n вещественнозначных функций, определенных на вероятностном пространстве , называется n -мерной случайной величиной. При таком определении нас интересует вопрос, как определяются вероятности случайных событий (попадание случайной n -мерной точки в А). Выделим в множество В:
состоящее из тех , для которых значения функций . Поскольку , для B задана вероятность . События и эквивалентны, и потому
Дискретные и непрерывные случайные величины
Будем рассматривать двумерные случайные величины основные положения оказываются справедливыми и для случайных величин произвольной размерности.
Определение 2. Случайная величина называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или cчетно. Такая случайная величина может быть задана перечислением точек на плоскости и соответствующими вероятностями .
Без ограничения общности можно считать, что множество значений — это узлы , i,j = 1, 2,... прямоугольной решетки, поскольку любое конечное или счетное множество точек на плоскости можно дополнить до прямоугольной решетки узлами с нулевыми вероятностями (рис. 5.1); — вероятности соответствующих точек. Можем определить вероятность попадания в некоторую область A на плоскости (рис. 5.2):
Очевидно, сумма вероятностей всех точек равна 1:
По совокупности вероятностей можно найти закон распределения одной компоненты, например первой:
т.е. при фиксированном значении , суммируются вероятности всех точек из , у которых первая компонента равна . Аналогично для второй компоненты
Определение 3. Двумерная случайная величина называется непрерывной, если в любой точке плоскости существует плотность вероятности , понимаемая как предел отношения вероятности попадания в прямоугольник с малыми сторонами к площади прямоугольника:
Функция называется плотностью совместного распределения для Из (5.4) следует, что вероятность попадания в некоторую область А равна интегралу от по А:
Очевидно,
Плотность распределения одной компоненты определяется аналогично (5.3):
Пример 1. Случайная величина называется равномерно распределенной в области G, если
Значение константы c равно , где — площадь области G, определяемая из (5.6).
Пример 2. Случайная величина распределена нормально, если
Эта плотность имеет 5 параметров: . Линии уровня для плотности
являются эллипсами с центром в точке ; в этой точке имеет максимум. Если по (5.7) определить и , то увидим, что и подчиняются нормальному распределению, причем Параметр r — это коэффициент корреляции между и (см. пп. 7.3).
Функции распределения
Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция , определенная на и равная в точке (х, у) вероятности события :
Обычно в индексе указывают случайную величину:
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 224 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!