![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Основные определения
Мы всегда предполагаем, что имеется некоторый эксперимент, результат которого заранее неизвестен и непредсказуем. Известно множество всех возможных результатов эксперимента, на котором задана вероятность
. В этой схеме
— элемент произвольной природы. Если же исходом эксперимента являются
чисел
(случайная точка в
, то случайный исход называется n-мерной случайной величиной. Таким образом,
и на
задана вероятность
, т.е. для достаточно произвольного
,
, задана
— вероятность попадания случайной точки в
.
Определение 1a. n чисел — случайный исход эксперимента, называется n -мерной случайной величиной.
n -мерная случайная величина может определяться и задаваться более общим способом. Пусть — множество исходов
произвольной природы и на
задана вероятность Р. Пусть на
определены n функций с вещественными значениями:
Определение 1б. n вещественнозначных функций, определенных на вероятностном пространстве , называется n -мерной случайной величиной. При таком определении нас интересует вопрос, как определяются вероятности случайных событий
(попадание случайной n -мерной точки в А). Выделим в
множество В:
состоящее из тех , для которых значения функций
. Поскольку
, для B задана вероятность
. События
и
эквивалентны, и потому
Дискретные и непрерывные случайные величины
Будем рассматривать двумерные случайные величины основные положения оказываются справедливыми и для случайных величин произвольной размерности.
Определение 2. Случайная величина называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или cчетно. Такая случайная величина может быть задана перечислением точек
на плоскости и соответствующими вероятностями
.
Без ограничения общности можно считать, что множество значений — это узлы , i,j = 1, 2,... прямоугольной решетки, поскольку любое конечное или счетное множество точек на плоскости можно дополнить до прямоугольной решетки узлами с нулевыми вероятностями (рис. 5.1);
— вероятности соответствующих точек. Можем определить вероятность попадания
в некоторую область A на плоскости (рис. 5.2):
Очевидно, сумма вероятностей всех точек равна 1:
По совокупности вероятностей можно найти закон распределения одной компоненты, например первой:
т.е. при фиксированном значении , суммируются вероятности всех точек из
, у которых первая компонента равна
. Аналогично для второй компоненты
Определение 3. Двумерная случайная величина называется непрерывной, если в любой точке плоскости
существует плотность вероятности
, понимаемая как предел отношения вероятности попадания в прямоугольник с малыми сторонами
к площади прямоугольника:
Функция называется плотностью совместного распределения для
Из (5.4) следует, что вероятность попадания в некоторую область А равна интегралу от
по А:
Очевидно,
Плотность распределения одной компоненты определяется аналогично (5.3):
Пример 1. Случайная величина называется равномерно распределенной в области G, если
Значение константы c равно , где
— площадь области G, определяемая из (5.6).
Пример 2. Случайная величина распределена нормально, если
Эта плотность имеет 5 параметров: . Линии уровня для плотности
являются эллипсами с центром в точке ; в этой точке
имеет максимум. Если по (5.7) определить
и
, то увидим, что
и
подчиняются нормальному распределению, причем
Параметр r — это коэффициент корреляции между
и
(см. пп. 7.3).
Функции распределения
Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция
, определенная на
и равная в точке (х, у) вероятности события
:
Обычно в индексе указывают случайную величину:
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 225 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!