![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Метрическими называются задачи, связанные с измерением расстояний и углов. В них определяются действительные величины и форма геометрических фигур, расстояния между ними и другие характеристики по их метрически искаженным проекциям. Решение метрических задач основано на том, что геометрическая фигура, принадлежащая плоскости, параллельной плоскости проекций, проецируется на нее в конгруэнтную ей фигуру (см. аксиомы параллельного проецирования).
Поэтому при решении метрических задач широко используются способы преобразования комплексного чертежа, а также теоретические положения, изложенные в теме "Взаимно перпендикулярные прямые и плоскости".
Проецирование прямого угла.
Теорема: Для того, чтобы прямой угол проецировался ортогонально без искажения, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней мере, одна его сторона была параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна этой плоскости.
([AB] [BC])
([AB]
,[BC]
)
[A
B
]
[B
C
]
![]() | Дано: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Спроецируем [AB] и [BC] на плоскость .
[AB] [A
B
]
[BC] [B
C
]
Фигура ABB A
- прямоугольник, следовательно [AB]
плоскости BCC
B
, так как он перпендикулярен двум пересекающимся прямым этой плоскости (AB
BC по условию и AB
BB
по построению).
Но AB A
B
, следовательно A
B
A
B
плоскости BCC
B
, поэтому A
B
B
C
,
т.е. A
B
C
=90
.
Обратное утверждение также верно.
По Гордону:
![]() | Дано: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Пусть [BC]
=C
Спроецируем [AB] и [BC] на плоскость .
[AB] [A
B
]
[BC] [B
C
]
Проведём [DC] [A
B
]
[DC]
[AB], поэтому
BCD=90
На основании теоремы о 3-х перпендикулярах: ( B
CD=90
)
(
BCD=90
)
A
B
C=90
.
Верно также обратное утверждение. Эту теорему применяют при решении задач на определение расстояния от точки до прямой частного положения.
Пример:
![]() | Дана горизонталь h и точка С. Надо опустить перпендикуляр из точки C на прямую h. Перпендикуляр из точки C к прямой h образует угол 90 ![]() ![]() |
16 Определение длины отрезка и углов его наклона к плоскостям проекций
.
Рис. 4.6. Определение углов наклона и натуральной величины отрезков
На рис. 4.6 показаны в аксонометрической проекции отрезок АВ и его горизонтальная проекция А1В1. Проведя прямую ВВ’, параллельную горизонтальной проекции отрезка А1В1, получим прямоугольный треугольник Δ АВВ’.
Длина отрезка АВ равна гипотенузе этого треугольника, катетами которого являются горизонтальная проекция отрезка А1В1 и разность координат z точек А и В (Δz = zA- zB).
Как известно, угол наклона прямой к плоскости равен углу между этой прямой АВ и ее проекцией на плоскость (А1В1).
Следовательно, угол Δ АВВ’, лежащий против катета Δz, равен углу наклона отрезка АВ и горизонтальной плоскости проекций π1(угол α°).
.
Рис. 4.7. Определение углов наклона и натуральной величины отрезка
Аналогично рассуждая (рис. 4.7), можно показать, что длина отрезка АВ равна гипотенузе треугольника, катетами которого являются фронтальная проекция отрезка А2В2 и разность координат Y точек А и В (ΔY =YA- YB).
Угол этого треугольника, лежащий против катета ΔY, равен углу наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций π2 (угол β°).
По аналогии длина отрезка АВ может быть определена и как гипотенуза треугольника, катеты которого профильная проекция отрезка А3В3 и разность координат Х (Δ Х = ХА – ХВ) точек А и В. Угол γ° этого треугольника, лежащий против катета Δ Х, определяет угол наклона отрезка АВ к профильной плоскости проекций π3.
На рис. 4.8 показан пример определения длины отрезка АВ и углов наклона его к плоскостям проекций.
17 Предварительное замечание. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве и перпендикулярность прямой к плоскости находятся в некоторой зависимости. Именно наличие параллельности одних элементов влечёт за собой перпендикулярность других, и, обратно, из перпендикулярности одних элементов можно сделать заключение о параллельности других. Эта связь между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей в пространстве выражается следующими теоремами.
Теорема. Если плоскость (Р, черт. 18) перпендикулярна к одной из параллельных прямых (АВ), то она перпендикулярна и к другой (CD).
Проведём через точку В на плоскости Р две какие-нибудь прямые ВЕ и BF, а через точку D проведём прямые DG и DH, соответственно параллельные прямым ВЕ и BF. Тогда будем иметь: / АВЕ = / CDG и / ABF = / CDH, как углы с параллельными сторонами. Но углы ABE и ABF прямые, так как АВ _|_ Р, значит, углы CDG и CDH также прямые (§ 18). Следовательно, CD _|_Р (§ 24).
Обратная теорема. Если две прямые (АВ и СD, черт. 19) перпендикулярны к одной и той же плоскости (Р), то они параллельны.
Предположим противное, т. е. что прямые АВ и СD не параллельны. Проведём тогда через точку D прямую, параллельную АВ. При нашем предположении это будет какая-нибудь прямая DС1, не сливающаяся с DС. Согласно прямой теореме прямая DС1 будет перпендикулярна к плоскости Р. Проведём через СD и С1D плоскость Q и возьмём линию её пересечения DЕ с плоскостью Р. Так как (на основании предыдущей теоремы) С1D _|_ Р, то / С1DE прямой, а так как по условию СD _|_Р, то / СDЕ также прямой. Таким образом, окажется, что в плоскости Q к прямой DЕ из одной её точки D восставлены два перпендикуляра DС и DС1. Так как это невозможно, то нельзя допустить, чтобы прямые АВ и СD были нe параллельны.
Теорема. Если прямая (ВВ1, черт. 20) перпендакулярна к одной из параллельных плоскостей (Р), то она перпендикулярна и к другой (Q).
Проведём через прямую ВВ1 какие-нибудь две плоскости М и N, каждая из которых пересекается с Р и Q по параллельным прямым: одна — по параллельным прямым ВС и В1С1, другая—по параллельным прямым ВD и В1D1. Согласно условию прямая ВВ1перпендикулярна к прямым ВС и ВD; следовательно, она также перпендикулярна к параллельным им прямым В1С1 и В1D1 а потому перпендикулярна и к плоскости Q, на которой лежат прямые В1С1 и В1D1.
Обратная теорема. Если две плоскости (Р и О, черт. 21) перпендикулярны к одной и той же прямой (АВ), то они параллельны.
Предположим противное, т. е. что плоскости Р и Q пересекаются. Возьмём на линии их пересечения какую-нибудь точку С и проведём плоскость R через С и прямую АВ. Плоскость R пересечёт плоскости Р и Q соответственно по прямым АС и ВС.
Так как АВ _|_ Р, то АВ _|_ АС, и так как АВ _|_ Q, то АВ _|_ ВС. Таким образом, в плоскости R мы будем иметь два перпендикуляра к прямой АВ, проходящих через одну и ту же точку С, перпендикуляры АС и ВС. Так как это невозможно, то предположение, что плоскости Р и Q пересекаются, неверно. Значит, они параллельны.
18 Признаки параллельности плоскостей:
1) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости cоответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
2) Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
Признак перпендикулярности плоскостей: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
19) Признаки параллельности прямой и плоскости:
1) Если прямая, лежащая вне плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.
2) Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
Признаки перпендикулярности прямой и плоскости:
1) Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
2) Если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Наклонная к плоскости. Прямая, пересекающая плоскость и не перпендикулярная ей, называется наклонной к плоскости.
Теорема о трёх перпендикулярах. Прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной к этой плоскости, перпендикулярна и самой наклонной.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 689 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!