Интегрирование способом подстановки

Чрезвычайно сильным методом приведения интеграла к табличной форме является метод подстановки или замены переменной. Он применяется в двух различных формах, каждая из которых основана на следующей теореме:

Теорема. Пусть F (z) есть на каком-нибудь промежутке [ p, q ] первообразная функция для функции f (z). Если φ (x) есть дифференцируемая функция, заданная на промежутке [ a, b ] и удовлетворяющая неравенствам p ≤ φ (x) ≤ q, то сложная функция F [ φ (x)] будет первообразной для функции f [ φ (x)] φ '(x).

В самом деле, дифференцируя сложную функцию y = F [ φ (x)], мы должны ввести промежуточный аргумент z = φ (x). Тогда y = F (z), z = φ (x) и . Так как F '(z) = f (z), то ,

1)

2)

3)

.

9.Определеный интеграл.Геометрический смысл

Геометрический смысл: если функция y(x) больше нуля на промежутке [a;b], то площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью ОХ и двумя прямыми х=а и х=b, равна интегралу от этой функции по переменной х на данном промежутке