Экстремумы функции. Исследование функции на экстремум с помощью первой производной

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x₁< x₂ выполняется неравенство (f(x₁) < f(x₂) (f(x₁) > f(x₂)).

Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ^'(x) > 0

(f ^' (x) < 0).Точка x_о называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки x_о, для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(x_о) (f(x) ≥ f(x_о)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Если в некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f (x)< f (х₀) или f (x) > f (х₀), то точка х₀ называется точкой экстремума функции f (x) (соответственно точкой максимума или минимума). Необходимое условие экстремума: если х₀ – экстремальная точка функции f (x), то первая производная f ’(х₀) либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие экстремума: х₀ является экстремальной точкой функции f (x), если ее первая производная f ’(x) меняет знак при переходе через точку х₀: с плюса на минус – при максимуме, с минуса на плюс – при минимуме.Точка х₀ называется точкой перегиба кривой y= f (х),если при переходе через точку х₀ меняется направление выпуклости. Необходимое условие точки перегиба: если х₀ – точка перегиба кривой y= f (х), то вторая производная f’’ (х₀) либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие точки перегиба: х₀ является точкой перегиба кривой y= f (х), если при переходе через точку х₀ вторая производная f’’ (х) меняет знак.

Прямая y_ас= k х+b называется наклонной асимптотой кривой y= f (х), если расстояние от точки (x; f (х)) кривой до этой прямой стремится к нулю при х® ¥. При этом

При k =0 имеем горизонтальную асимптоту: y = b.

Если

то прямая х = а называется вертикальной асимптотой