Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Экстремумы функции. Исследование функции на экстремум с помощью первой производной



Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).

Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f '(x) > 0

(f ' (x) < 0).Точка xо называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки xо, для всех точек которой верно неравенство f(x) ≤ f(xо) (f(x) ≥ f(xо)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство f (x)< f (х0) или f (x) > f (х0), то точка х0 называется точкой экстремума функции f (x) (соответственно точкой максимума или минимума). Необходимое условие экстремума: если х0 – экстремальная точка функции f (x), то первая производная f ’(х0) либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие экстремума: х0 является экстремальной точкой функции f (x), если ее первая производная f ’(x) меняет знак при переходе через точку х0: с плюса на минус – при максимуме, с минуса на плюс – при минимуме.Точка х0 называется точкой перегиба кривой y= f (х),если при переходе через точку х0 меняется направление выпуклости. Необходимое условие точки перегиба: если х0 – точка перегиба кривой y= f (х), то вторая производная f’’ (х0) либо равна нулю или бесконечности, либо не существует. Достаточное условие точки перегиба: х0 является точкой перегиба кривой y= f (х), если при переходе через точку х0 вторая производная f’’ (х) меняет знак.

Прямая yас= k х+b называется наклонной асимптотой кривой y= f (х), если расстояние от точки (x; f (х)) кривой до этой прямой стремится к нулю при х® ¥. При этом

При k =0 имеем горизонтальную асимптоту: y = b.

Если

то прямая х = а называется вертикальной асимптотой





Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 532 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...