Признак параллельности двух плоскостей

1)Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.

Доказательство проведем от противного. Пусть прямые a и b лежат в плоскости β, причем a || α и b || α (чертеж 2.3.1). Если плоскости α и β не параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой c. Поскольку a || α, то по теореме о следе c || a. Аналогично получаем, что c || b, тогда a || b. Мы пришли к противоречию, поскольку a и b по условию пересекаются.

19.Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной прямой.

Доказательство Пусть a – прямая,перпендикулярная прямым b и с в плоскости α. Тогда прямая a проходит через точку A пересечения прямых b и с. Докажем, что прямая a перпендикулярна плоскости α.
Проведем произвольную прямую x через точку A в плоскости α и покажем, что она перпендикулярна прямой a. Проведем в плоскости α произвольную прямую, не проходящую через точку A и пересекающую прямые b, с и x. Пусть точками пересечения будут B, C и X..
Отложим на прямой a от точки A в разные стороны равные отрезки AA1 и AA2. Треугольник A1CA2 равнобедренный, так как отрезок AC является высотой по условию теоремы и медианой по построению. Треугольник A1BA2 так же равнобедренный. Следовательно, Δ A1BC = ΔA2BC по третьему признаку равенства треугольников.
Из равенства треугольников A1BC и A2BC следует равенство углов A1BX и A2BX, следовательно, равенство треугольников A1BX и A2BX по первому признаку равенства треугольников. Из равенства сторон A1X и A2X, следует, что A1XA2 равнобедренный. Поэтому его медиана XA является высотой. А это и значит, что прямая x перпендикулярна a. По определению прямая a перпендикулярна плоскости α. Теорема доказана.