Правило разложения определителя по строке (столбцу)

Свойства определителей

- Если две строки (столбца) матрицы совпадают, то её определитель равен нулю.

- Если две (или несколько) строки (столбца) матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

- Если переставить две строки (столбца) матрицы, то её определитель умножается на (-1).

- Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

- Если хотя бы одна строка (столбец) матрицы нулевая, то определитель равен нулю.

- Сумма произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения равна определителю.

- Сумма произведений всех элементов любого ряда на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.

- Определитель произведения квадратных матриц одинакового порядка равен произведению их определителей формула Бине-Коши).

Правило разложения определителя по строке (столбцу).

Для матрицы первого порядка детерминантом является сам единственный элемент этой матрицы:

Для матрицы детерминант определяется как

Для матрицы определитель задаётся рекурсивно:

, где — дополнительный минор к элементу a1j. Эта формула называется разложением по строке.

В частности, формула вычисления определителя матрицы такова:

= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31

Легко доказать, что при транспонировании определитель матрицы не изменяется (иными словами, аналогичное разложение по первому столбцу также справедливо, то есть даёт такой же результат, как и разложение по первой строке)