Исследование устойчивости схемы с весами методом гармоник

Введем замену

Разделим на

Введем замену .

Выражая получим следующее:

Это выражение если

Отсюда видно, в частности, что все схемы с весами при абсолютно устойчивы.

ВОПРОС 20 (2)

Вопрос № 50 (№20 часть 2)

Классическая задача на условный экстремум. Функции Лагранжа. Стационарные точки. Условие регулярности. Теоремы о необходимых и достаточных условиях оптимальности.

Классической задачей на условный экстремум называется задача f(x)->min,

, (1) где D представляет собой систему конечного числа уравнений. f(x)-целевая функция, D – допустимое множество, x-допустимая точка задачи.

Функция Лагранжа:

Любая точка x*, удовлетворяющая при некоторых условию: и условию допустимости: называется стационарной точкой.

Условие линейной независимости векторов называется условием регулярности.

Первым дифференциалом ограничения называется функция

Необходимое условие экстремума первого порядка: пусть x* есть точка локального минимума, тогда найдутся числа неравные одновременно и такие что выполняются условия (3) и (4).

Необходимое условие экстремума второго порядка: пусть x* есть точка локального минимума, в которой выполнено условие регулярности и имеются решения системы (3)+(4), тогда т., что (6)

Достаточные условия экстремума: пусть точка , удовлетворяющая системе (3)+(4). Если такая, что выполняется условие (6), то точка x* является точкой локального минимума.

Теорема 1. (Необходимое условие локальной оптимальности 1го порядка)

Пусть функции - непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки . Если - локальное решение задачи минимизации, то и вектор , не равные нулю одновременно и такие, что производная по функции Лагранжа . Если при этом выполняется условие регулярности, то .

Теорема 2. (Необходимое условие локальной оптимальности 2го порядка)

Пусть

1. функции – дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки ;

2. точка является локальным решением задачи минимизации;

3. выполняется условие регулярности,

тогда удовл. условию и , т.ч. .

Теорема 3. (Достаточные условия локальной оптимальности 2го порядка)

Пусть

1. функции – дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки ;

2. выполняется условие допустимости, т.е.

3. При некоторых выполняется условие и, кроме того, для таких , что ,

тогда - строгое локальное решение задачи минимизации.

ВОПРОС 21 (2)