Двухслойная разностная схема для уравнения теплопроводности. Аппроксимация схемы с весами (без вывода). Исследование устойчивости схемы с весами методом гармоник

Под разностной схемой (РС) понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные (начальные и граничные) условия – в граничных узлах сетки.

Уравнение теплопроводности – дифференциальное уравнение с частными производными параболического типа, описывающее процесс распространения теплоты в сплошной среде; уравнение выражает баланс для малого объема среды с учетом поступления теплоты от источника и тепловых потерь через поверхность элементарного объема вследствие теплопроводности.

Рассмотрим следующую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. Искомая функция зависит от двух переменных и удовлетворяет уравнению в частных производных следующего вида:

для с начальными

и граничными

условиями.

Уравнение (1) известно как уравнение теплопроводности, т.к. описывает температуру тонкой металлической пластины в момент времени в точке с заданным распределением температуры в начальный момент (2) и с нагретыми границами согласно (3).

Введем сетку в области изменения независимых переменных и зададим шаблон (минимальное количество точек, по которому можно построить РС и применить какой-либо метод для вычисления значений) следующего вида:

где – пространственно временные сетки.

Узлы называются граничными узлами и принадлежат они следующим отрезкам:

Остальные точки, не принадлежащие данным отрезкам, называются внутренними узлами.

Слоем называется множество всех узлов сетки , имеющих одну и ту же временную координату. Например, -й слой: - множество узлов на -м слое.

Среди двухслойных РС для уравнения теплопроводности различают следующие:

1. Явная РС;

2. Неявная РС;

3. Симметричная РС (схема Кранка-Николсона);

4. РС с весами.

Рассмотрим каждую из этих схем более подробно.

Обозначим через приближенное решение задачи (1)-(3) в узлах сетки, т.е.

Явной РС для уравнения теплопроводности (1)-(3) называется РС, использующая следующий шаблон:

и имеющая вид:

где - первая разностная производная, а – вторая. Тогда данную РС можно записать следующем виде:

После определенных преобразований и введения замены получим, что явная разностная схема для первой краевой задачи для уравнения теплопроводности будет иметь вид:

где

Неявной РС для уравнения теплопроводности (1)-(3) называется РС, использующая следующий шаблон:

и имеющая вид:

После определенных преобразований и введения замены получим, что неявная разностная схема для уравнения теплопроводности будет иметь вид:

где

Симметричной РС для уравнения теплопроводности (1)-(3) называется РС, использующая следующий шаблон:

и имеющая вид:

где

Обобщением явной, неявной и симметричной разностных схем является однопараметрическое семейство разностных схем с весами.

Зададим произвольный действительный параметр и определим РС следующим образом:

где

При получим явную разностную схему, при - неявную, а при - симметричную РС.