![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Под разностной схемой (РС) понимается совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих основное дифференциальное уравнение во всех внутренних узлах сетки и дополнительные (начальные и граничные) условия – в граничных узлах сетки.
Уравнение теплопроводности – дифференциальное уравнение с частными производными параболического типа, описывающее процесс распространения теплоты в сплошной среде; уравнение выражает баланс для малого объема среды с учетом поступления теплоты от источника и тепловых потерь через поверхность элементарного объема вследствие теплопроводности.
Рассмотрим следующую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. Искомая функция зависит от двух переменных и удовлетворяет уравнению в частных производных следующего вида:
для с начальными
и граничными
условиями.
Уравнение (1) известно как уравнение теплопроводности, т.к. описывает температуру тонкой металлической пластины в момент времени
в точке
с заданным распределением температуры в начальный момент (2) и с нагретыми границами согласно (3).
Введем сетку в области изменения независимых переменных и зададим шаблон (минимальное количество точек, по которому можно построить РС и применить какой-либо метод для вычисления значений) следующего вида:
где – пространственно временные сетки.
Узлы называются граничными узлами и принадлежат они следующим отрезкам:
Остальные точки, не принадлежащие данным отрезкам, называются внутренними узлами.
Слоем называется множество всех узлов сетки , имеющих одну и ту же временную координату. Например, -й слой:
- множество узлов на
-м слое.
Среди двухслойных РС для уравнения теплопроводности различают следующие:
1. Явная РС;
2. Неявная РС;
3. Симметричная РС (схема Кранка-Николсона);
4. РС с весами.
Рассмотрим каждую из этих схем более подробно.
Обозначим через приближенное решение задачи (1)-(3) в узлах сетки, т.е.
Явной РС для уравнения теплопроводности (1)-(3) называется РС, использующая следующий шаблон:
и имеющая вид:
где - первая разностная производная, а
– вторая. Тогда данную РС можно записать следующем виде:
После определенных преобразований и введения замены получим, что явная разностная схема для первой краевой задачи для уравнения теплопроводности будет иметь вид:
где
Неявной РС для уравнения теплопроводности (1)-(3) называется РС, использующая следующий шаблон:
и имеющая вид:
После определенных преобразований и введения замены получим, что неявная разностная схема для уравнения теплопроводности будет иметь вид:
где
Симметричной РС для уравнения теплопроводности (1)-(3) называется РС, использующая следующий шаблон:
и имеющая вид:
где
Обобщением явной, неявной и симметричной разностных схем является однопараметрическое семейство разностных схем с весами.
Зададим произвольный действительный параметр и определим РС следующим образом:
где
При получим явную разностную схему, при
- неявную, а при
- симметричную РС.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 2427 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!