Правило Лопиталя-Бернулли

(неопределённость ). Пусть функции f (х) и g (х):

1. непрерывны на отрезке [ a, b ];

2. , ;

3. существуют производные f '(х) и g '(х) на интервале (a, b), причём g '(х) ¹ 0;

4. существует (конечный или бесконечный) .

Тогда существует , и .

а

b

x

c

Док-во. Так как функции f (х) и g (х) непрерывны в точке а, то , , и . Для функций f (х) и g (х) на отрезке [ a, х ] выполняются условия теоремы Коши, поэтому существует точка с Î(a, х), такая что . Устремим , при этом и . В пределе получим , что и требовалось доказать.