![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Постоянное число a называется пределом последовательности {an}, если:
при этом пишут или
при
.
Подчеркнем, что выбирается произвольно, а число N должно быть указано после выбора
.
Из определения последовательности немедленно вытекает, что предел постоянной (последовательности) () равен самой этой постоянной, т.к. неравенство (2) выполняется тривиальным образом для любого
при всех натуральных N.
Если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она сходится (т.е. имеет предел).
Если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится
Теорема: "Необходимым и достаточным условием сходимости {zn}
является требование {an}
a; {bn}
b."
Доказательство.
Необходимость. "e>0 $ N(e): ïzn-zï<e для " n N Þïan-aï
ïzn-zï<e,
ïbn-bï ïzn-zï <e Þ {an}
a, {bn}
b.
Достаточность. "e >0 $ N1(e): ïan-aï <e /2 для " n N1, $ N2(e): ïbn-bï<e /2 для " n
N2ÞN=max{N1,N2}: ïzn-zï
ïan-aï+ïbn-bï<e для " n
N.
Число e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число (вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим).
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 237 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!