Вопрос 1. Постоянное число a называется пределом последовательности {an}, если:

Постоянное число a называется пределом последовательности {a_n}, если:

при этом пишут или при .

Подчеркнем, что выбирается произвольно, а число N должно быть указано после выбора .

Из определения последовательности немедленно вытекает, что предел постоянной (последовательности) () равен самой этой постоянной, т.к. неравенство (2) выполняется тривиальным образом для любого при всех натуральных N.

Если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она сходится (т.е. имеет предел).

Если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится

Теорема: "Необходимым и достаточным условием сходимости {z_n} является требование {a_n} a; {b_n} b."
Доказательство.
Необходимость. "e>0 $ N(e): ïz_n-zï<e для " n N Þïa_n-aï ïz_n-zï<e,

ïb_n-bï ïz_n-zï <e Þ {a_n} a, {b_n} b.
Достаточность. "e >0 $ N₁(e): ïa_n-aï <e /2 для " n N₁, $ N₂(e): ïb_n-bï<e /2 для " n N₂ÞN=max{N₁,N₂}: ïz_n-zï ïa_n-aï+ïb_n-bï<e для " n N.

Число e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число (вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим).