Метод половинного деления

Метод половинного деления один из методов решения нелинейных уравнений и основан напоследовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения F(x)=0 до того времени, пока не будет достигнута заданная точность ɛ.

Пусть задан отрезок [а,b], содержащий один корень уравнения. Предварительно необходимо определить области локализации корней данного уравнения. Если на отрезке [а,b] содержится более одного корня, то метод не работает.

Алгоритм метода:

Разобьем отрезок [а,b] пополам. Определим новое приближение корня х в середине отрезка [а,b]:

х=(а+b)/2.

Найдем значения функции в точках а и х: F(a) и F(x).

Проверим условие F(a)*F(x) < 0. Если условие выполнено, то корень расположен на отрезке [а,х].

В этом случае необходимо точку b переместить в точку х (b=х). Если условие не выполнено, то корень расположен на отрезке [х,b]. В этом случае необходимо точку а переместить в точку х (а=х).

Перейдем к пункту 1 и вновь поделим отрезок пополам. Алгоритм выполнять до тех пор, пока не будет выполнено условие /F(x)/ < ɛ.

Билет 14 вопрос 1 Условия существования и единственности решения задачи Коши приводятся в теореме Коши, но даже при выполнении этих условий большинство дифференциальных уравнений не допускают нахождения точного решения. В этом случае применяются приближенные методы интегрирования. Выведем формулу одного из таких методов – метода последовательных приближений.

Рассмотрим задачу Коши, которая заключается в решении дифференциального уравнения (3.1) с заданным начальным условием (3.2):

, . (3.7)

Предположим, что – решение задачи Коши (3.7). Тогда

.

Интегрируя это тождество, получим

.

Отсюда следует, что

.

Учитывая начальное условие задачи Коши (3.7), получим для нее интегральное уравнение

. (3.8)

Итак, если есть решение задачи Коши (3.7), то оно удовлетворяет и интегральному уравнению (3.8).

Обратно, если функция есть решение интегрального уравнения (3.8), то, во-первых, , а во-вторых, по теореме Барроу . Следовательно, всякое решение интегрального уравнения (3.8) является и решением задачи Коши (3.7).

Таким образом, интегральное уравнение (3.8) эквивалентно задаче Коши (3.7). Поэтому мы можем использовать интегральное уравнение (3.8) для решения задачи Коши.

В уравнении (3.8) справа под знаком интеграла находится неизвестная функция . Положим в качестве начального приближения решения и определим функцию

.

Положим в правой части интегрального уравнения (3.8) и определим

.

Итак, приближения решения задачи Коши находятся по рекуррентной формуле

, (3.9)

Теорема Пикара. Если в задаче Коши функция непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по переменной , то существует единственное решение задачи Коши, к которому равномерно сходятся при приближения, определяемые формулой (3.9).

Теорема Пикара утверждает, что при выполнении условий этой теоремы последовательность функций , , , …, найденных по формуле (3.9), равномерно сходится к решению задачи Коши , то есть

.

Действительно, выполняя в формуле (3.9) предельный переход при , получим интегральное уравнение

.

Это интегральное уравнение совпадает с уравнением (3.8), поэтому есть решение задачи Коши.

Метод последовательных приближений, основанный на формуле (3.9), также называется методом Пикара.

Пример 3.10. Решить задачу Коши

, .

Решение. Сводим задачу к интегральному уравнению

.

Задавая , последовательно находим:

,

,

.....................

.

При получим справа степенной ряд для функции . Следовательно,

.

Поэтому . Это же решение исходной задачи Коши можно получить как решение уравнения с разделяющимися переменными.

вопрос 2. Случайные величины. Функции распределения и плотности распределения. Важнейшие функции распределения. Случайные величины (с.в.) – численное значение появляющееся в результате опыта, и принимающее произвольное значение из заранее определенного множества. Дискретные случайные величины принимают в результате испытания одно из изолированного дискретного множества значений. Они хорошо подходят для описания результатов измерений, связанных с подсчетом и выражаемых целыми числами., P((X = x _i )) = Pi где i =... −1, 0, 1...

Здесь X — обозначение случайной величины; x _i — конкретные числовые значения, принимаемые дискретной случайной величиной; p_i — вероятности этих значений.

Индекс i может в общем случае пробегать значения от −∞ до ∞.

Функция P((X = x _i )), связывающая значения дискретной случайной величины с их вероятностями, называется ее распределением (законом распределения). Обычно закон распределения записывается в виде таблицы вида

Х	x 1	x 2	…	x n	…
Р	p 1	p 2	…	p n	…

Непрерывные случайные величины в результате испытания могут принимать любые значения из некоторого интервала. Функция распределения Рассмотрим вероятность того, что случайная величина X окажется меньше или равной некоторому заданному числу х, т. е.

F(x) = P((X≤ x) Эта вероятность, рассматриваемая как функция переменной х, называется функцией распределения случайной величины X. Она используется для записи распределений как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Функция распределения непрерывной случайной величины будет непрерывной функцией P((x1 ≤ X,x2)) = F(x2)F(x1)

Кроме этого универсального, существуют также частные виды законов распределения: ряд распределения (только для дискретных случайных величин) и плотность распределения (только для непрерывных случайных величин).

Основные свойства плотности распределения:

(5)

Каждый закон распределения – это некоторая функция, полностью описывающая случайную величину с вероятностной точки зрения. Плотность вероятностей — это производная от функции распределения непрерывной случайной величины, т.е.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал между значениями х ₁ и х ₂ пропорциональная площади под кривой плотности вероятностей, заключенной между точками х ₁ и х ₂. Эта вероятность математически записывается в виде интеграла от f(x) в пределах х ₁ и х ₂.

выборочное среднее арифметическое случайной величины X стремится при неограниченном повторении испытания (при неограниченном увеличении объема выборки) к некоторому постоянному числу, так как в последней сумме x _i и р _i — постоянные числа. Это число носит название математического ожидания (среднего значения) случайной величины. Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме всех ее возможных значений, умноженных на вероятности этих значений:

Для непрерывных случайных величин математическое ожидание определяется с помощью плотности вероятностей по формуле: