Спектральный признак устойчивости

Для широкого класса эволюционных (зависящих от времени) задач исследование устойчивости можно осуществить с помощью спектрального признака, который в случае разностной задачи с постоянными коэффициентами, состоит в следующем.

Заменяем правую часть разностного уравнения в (11.1a) нулем, краевую задачу — задачей Коши, функцию — гармоникой и ищем решение в виде

(для задач с одной пространственной переменной), w — произвольное число,

Для устойчивости разностной схемы необходимо, чтобы спектр лежал в круге где c не зависит от t. Подставляя в рассмотренное разностное уравнение, получим:

или

Разностная схема устойчива, если выполнено неравенство т. е. когда t, h выбраны так, что