Свойства функций, непрерывных на отрезке. Первая теорема Больцано-Коши

Первая теорема Больцано-Коши. Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков. Тогда в интервале

найдется точка с, в которой функция обращается в нуль, то есть .

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что если непрерывная кривая переходит с одной стороны оси Ох на другую, то она пересекает эту ось.

Бернгард Больцано (1781-1848) – чешский философ и математик, доказал теорему в 1817 году. Огюстен Луи Коши (1789-1857) – знаменитый французский математик, доказал теорему независимо от Больцано в 1821 году. Этим ученым, особенно Коши, принадлежит заслуга обоснования математического анализа.

x

b

у = f (x)

с

а

О

у

Доказательство. Предположим для определенности, что . Обозначим отрезок через и разделим его пополам точкой . Если , то теорема доказана и , в противном случае через обозначим ту из половин отрезка , для которой .

Разделим отрезок пополам точкой . Если , то теорема доказана и , в противном случае через обозначим ту из половин отрезка , для которой .

Продолжим этот процесс построения промежутков. При этом либо мы после конечного числа шагов наткнемся в качестве точки деления на точку, в которой функция обращается в нуль, и доказательство теоремы завершится, либо получим бесконечную последовательность вложенных один в другой отрезков. Тогда для n -го отрезка имеем , причем длина его при . По принципу вложенных отрезков Кантора (см. теорему 3 § 6) существует единственная точка с, принадлежащая всем этим отрезкам. Это точка . В силу непрерывности функции в точке и . Переходя в неравенствах к пределу при , получим, что одновременно и , откуда . Теорема доказана.

Замечание. На доказанной теореме основан метод интервалов решения неравенств с одной переменной. Из теоремы следует, что функция, непрерывная на интервале и не равная нулю ни в одной его точке, сохраняет знак на этом интервале. Поэтому, если функция непрерывна в области своего определения, то точки, в которых она обращается в нуль, разбивают область ее определения на интервалы, в которых функция сохраняет знак. Для определения знака в интервале достаточно определить его в одной точке интервала. Объединение интервалов с требуемым знаком функции и является решением неравенства.

Пример 1. Решим неравенство .

Решение. Заметим, что функция непрерывна в области своего определения как элементарная функция. Она равна нулю в точках и . Поэтому сохраняет знак в интервалах . Знак функции в каждом интервале можно определить с помощью пробной точки. Получим следующее распределение знаков:

• •

+ – + – + –1 1 2 3

Записываем ответ: .

Вторая теорема Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает различные значения , то она принимает на этом отрезке любое значение , лежащее между и .

Доказательство. Пусть для определенности . Надо доказать, что найдется точка , такая, что .

Рассмотрим вспомогательную функцию . Эта функция непрерывна на отрезке как разность непрерывных функций, , т.е. на концах отрезка принимает значения разных знаков. По 1-й теореме Больцано-Коши найдется точка такая, что , т.е. или . Теорема доказана.

Замечания. 1) 1-я теорема Больцано-Коши является частным случаем 2-й теоремы Больцано-Коши, когда и имеют разные знаки, а .

2) 1-ю и 2-ю теоремы Больцано-Коши называют также теоремами о промежуточных значениях.

3) Теоремы Больцано-Коши могут быть использованы при решении уравнений.

Пример 2. Докажем, что уравнение имеет корень на отрезке .

Решение. Для функции имеем , поэтому по 1-й теореме Больцано-Коши найдется точка такая, что .

Значение корня можно найти и более точно. Поскольку ; и т.д.

1- я теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что функция не ограничена на отрезке . Разобьем этот отрезок пополам. Тогда хотя бы на одной из половин отрезка функция будет неограниченной, обозначим эту половину через . Отрезок разделим пополам, ту его половину, на которой функция не ограничена, обозначим через . Если функция не ограничена на обеих половинах отрезка, то можно выбрать любую из них, например, правую. Продолжая описанный процесс деления отрезков, получим стягивающуюся последовательность вложенных отрезков

,

на каждом из которых функция не ограничена. По принципу вложенных отрезков существует единственная точка с, принадлежащая всем этим отрезкам. Поскольку , функция непрерывна в этой точке, то есть . Поэтому существует окрестность , в которой функция ограничена. Так как длины отрезков стремятся к нулю, то при каком-то n длина отрезка станет меньше , то есть будет . Поскольку функция ограничена в окрестности , она ограничена и на отрезке , что противоречит построению этого отрезка. Полученное противоречие показывает, что сделанное предположение о

◦ • • • ◦ с

неограниченности функции на отрезке неверно. Поэтому ограничена на . Теорема доказана.

Обозначим множество значений функции , непрерывной на отрезке , через . По доказанной теореме это множество ограничено. Поэтому оно имеет точную нижнюю границу и точную верхнюю границу . Функция не может принимать на значений, больших М и меньших m. Может ли принимать на значения М и m? Ответ дает

2- я теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своих точных нижней и верхней границ. Иными словами, найдутся точки , такие, что и .

Доказательство. Рассмотрим случай точной верхней границы. Предположим противное, то есть что . Введем вспомогательную функцию . На отрезке знаменатель в нуль не обращается, поэтому – непрерывная на функция как частное двух непрерывных функций. По 1-й теореме Вейерштрасса она ограничена, то есть существует число , такое, что . Тогда , то есть М не является точной верхней границей значений функции на отрезке , что противоречит условию. Полученное противоречие показывает, что сделанное предположение неверно, то есть найдется точка , такая, .

Аналогично рассматривается случай точной нижней границы. Теорема доказана.

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке , то множеством ее значений является отрезок , где и М – точные границы значений функции.

Доказательство. Действительно, по 2-й теореме Вейерштрасса на , а по 2-й теореме Больцано-Коши любое число является значением функции в некоторой точке , то есть . Что и требовалось доказать.

Теорема (о существовании и непрерывности обратной функции). Пусть функция определена на отрезке , возрастает и непрерывна на этом отрезке. Тогда на отрезке существует обратная функция , которая возрастает и непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. В силу возрастания функции ее наименьшее значение равно , а наибольшее значение . По доказанному выше следствию совокупностью значений является отрезок . Тогда любому значению соответствует значение , такое, что , причем значение единственное в силу возрастания . Положим . Таким образом определена обратная функция , область определения которой – отрезок . Тем самым существование обратной функции доказано.

Докажем теперь, что функция возрастает. Пусть , , . Допустим, что . Тогда = = , что противоречит условию . Таким образом, – возрастающая функция. Докажем непрерывность обратной функции в любой точке . Возьмем произвольно. Надо показать, что найдется такое, что выполняется неравенство или, иначе,

у

f (b)

y = f (x)

f (a)

О а b х

выполняется неравенство .

Обозначим через . Тогда , , неравенство равносильно неравенству . В силу возрастания . Возьмем такое, что окрестность . Очевидно, что если , то , т.е. , что и доказывает непрерывность в точке . Поскольку – любая точка отрезка , функция непрерывна на отрезке . Теорема доказана.

Замечание. Аналогичная теорема верна и для непрерывных убывающих на отрезке функций. Утверждение остается верным и в случае, когда функция определена на бесконечном промежутке или не ограничена в области своего определения.