Критерий Коши существования предела

Определения Коши и Гейне предела функции, их эквивалентность.

Определение 1. Пусть Е – бесконечное множество. Если любая окрестность содержит точки множества Е, отличные от точки а, то а называется предельной точкой множества Е.

Определение 2. (Генрих Гейне (1821-1881)). Пусть функция определена на множестве Х и – предельная точка этого множества. Число А называется пределом функции в точке (или при , если для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к и состоящей из чисел, отличных от , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А. Пишут: .

Примеры. 1) Функция имеет предел, равный с, в любой точке числовой прямой.

Действительно, для любой точки и любой последовательности значений аргумента , сходящейся к и состоящей из чисел, отличных от , соответствующая последовательность значений функции имеет вид , а мы знаем, что эта последовательность сходится к с. Поэтому .

2) Для функции .

Это очевидно, так как если , то и .

3) Функция Дирихле не имеет предела ни в одной точке.

Действительно, пусть и , причем все – рациональные числа. Тогда для всех n, поэтому . Если же и все – иррациональные числа, то для всех n, поэтому . Мы видим, что условия определения 2 не выполняются, поэтому не существует.

4) .

Действительно, возьмем произвольную последовательность , сходящуюся к

числу 2. Тогда . Что и требовалось доказать.

Определение 3. (Коши (1789-1857)). Пусть функция определена на множестве Х и – предельная точка этого множества. Число А называется пределом функции в точке (или при , если для любого найдется , такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих неравенству

,

справедливо неравенство

.

Пишут: .

Определение Коши можно дать и с помощью окрестностей, если заметить, что , а :

пусть функция определена на множестве Х и – предельная точка этого множества. Число А называется пределомфункции в точке , если для любой -окрестности точки А найдется проколотая - окрестность точки ,такая, что .

Это определение полезно проиллюстрировать рисунком.

Пример 5. .

Действительно, возьмем произвольно и найдем , такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Последнее неравенство равносильно неравенству , поэтому видим, что достаточно взять . Утверждение доказано.

Справедлива

Теорема 1. Определения предела функции по Гейне и по Коши эквивалентны.

Доказательство. 1) Пусть по Коши. Докажем, что это же число является пределом и по Гейне.

Возьмем произвольно. Согласно определению 3 существует , такое, что для всех выполняется неравенство . Пусть – произвольная последовательность такая, что при . Тогда существует номер N такой, что для всех выполняется неравенство , поэтому для всех , т.е. по Гейне.

2) Пусть теперь по Гейне. Докажем, что и по Коши.

Предположим противное, т.е. что по Коши. Тогда существует такое, что для любого найдется , и . Рассмотрим последовательность . Для указанного и любого n существует и . Это означает, что , хотя , т.е. число А не является пределом в точке по Гейне. Получили противоречие, которое и доказывает утверждение. Теорема доказана.

Теорема 2 (о единственности предела). Если существует предел функции в точке , то он единственный.

Доказательство. Если предел определен по Гейне, то его единственность вытекает из единственности предела последовательности. Если предел определен по Коши, то его единственность вытекает из эквивалентности определений предела по Коши и по Гейне. Теорема доказана.

Аналогично критерию Коши для последовательностей имеет место критерий Коши существования предела функции. Прежде чем его сформулировать, дадим

Определение 4. Говорят, что функция удовлетворяет условию Коши в точке , если для любого существует , такое, что для любых значений , таких, что и , выполняется неравенство .

Теорема 3 (критерий Коши существования предела). Для того чтобы функция имела в точке конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке функция удовлетворяла условию Коши.

Доказательство. Необходимость. Пусть . Надо доказать, что удовлетворяет в точке условию Коши.

Возьмем произвольно и положим . По определению предела для существует , такое, что для любых значений , удовлетворяющих неравенствам и , выполняются неравенства и . Тогда

. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть функция удовлетворяет в точке условию Коши. Надо доказать, что она имеет в точке конечный предел.

Возьмем произвольно. По определению 4 найдется , такое, что из неравенств , следует, что – это дано.

Покажем сначала, что для всякой последовательности , сходящейся к , последовательность значений функции сходится. Действительно, если , то, в силу определения предела последовательности, для заданного найдется номер N, такой, что для любых и . Поскольку в точке удовлетворяет условию Коши, имеем . Тогда по критерию Коши для последовательностей последовательность сходится. Покажем, что все такие последовательности сходятся к одному и тому же пределу. Предположим противное, т.е. что есть последовательности и , , , такие, что . Рассмотрим последовательность . Ясно, что она сходится к , поэтому по доказанному выше последовательность сходится, что невозможно, так как подпоследовательности и имеют разные пределы и . Полученное противоречие показывает, что = . Поэтому по определению Гейне функция имеет в точке конечный предел. Достаточность, а значит и теорема, доказаны.