Второй замечательный предел и его следствия

Теорема 1 (2-й замечательный предел). Справедливо равенство , где .

Доказательство. Воспользуемся известным пределом . Докажем

сначала, что . Обозначим целую часть х через n: . Тогда и, следовательно, и . Из неравенств

и следует, что

.

Из неравенств и следует, что

.

Таким образом,

, где .

Поскольку ,

и при и , по теореме о промежуточной переменной имеем, что .

Рассмотрим теперь . Положим . Когда , то и

= = = = =

= = .

Таким образом, и . Значит, мы доказали, что . Теорема доказана.

Обозначим . Если , то и 2-й замечательный предел примет вид .

Следствия. 1) . В частности, .

2) . В частности, .

3) .

Доказательство. 1) .

При получаем частный случай.

2) Положим при . Отсюда . Поэтому

. При получаем частный случай.

3) Заметим, что , поэтому . Тогда . Следствия доказаны.

Из следствий имеем: при , .

Примеры.

1) .

2) .