Арифметические операции над функциями, имеющими предел

Теорема 1. Пусть функции и заданы на одном и том же множестве Х и имеют в точке пределы, равные соответственно а и b. Тогда

.

Доказательство. Пусть – произвольная сходящаяся к последовательность, . Тогда, в силу определения предела функции в точке по Гейне, и по свойствам сходящихся последовательностей ,

. Так как последовательность выбиралась

произвольно, то, в силу определения предела по Гейне, теорема доказана.

Аналогичные теоремы имеют место в случае, когда , , и для односторонних пределов.

Пример 1. С помощью теоремы 1 вычисляются следующие пределы:

– доказывается методом математической индукции, , при условии, что , .

Заметим, что для действительных функций имеют место теорема о промежуточной переменной и переход к пределу в неравенствах. Доказываются они с помощью соответствующих утверждений для последовательностей и определений предела по Гейне.