Односторонние пределы. Определение 1 (Гейне). Число А называется правым пределом функции в точке (или пределом функции

Определение 1 (Гейне). Число А называется правым пределом функции в точке (или пределом функции в точке справа), если для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к и такой, что , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Определение 2 (Коши). Число А называется правым пределом функции в точке (или пределом функции в точке справа), если для любого найдется , такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих неравенству

,

выполняется неравенство

.

Пишут: , а если , то , или, короче, и .

Совершенно аналогично даются определения односторонних пределов слева. Пишут: или .

Пример 1. Пусть Тогда , , поэтому не существует.

Имеет место

Теорема 1. Для того чтобы функция имела предел в точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке равные односторонние пределы. При этом

.

Это достаточно очевидно.

Введем теперь понятие предела функции на бесконечности.

Определение 3 (Гейне). Число А называется пределомфункции при , если для любой бесконечно большой последовательности последовательность значений сходится к числу А.

Определение 4 (Коши). Число А называется пределомфункции при , если для любого найдется , такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Пишут: .

Докажем, например, что . Пусть – произвольная бесконечно большая последовательность. Тогда, как известно, – бесконечно малая последовательность, поэтому по определению 3.

Аналогично теореме 1 § 13 можно доказать эквивалентность определений 3 и 4. Справедлив также критерий Коши существования предела функции, когда .

Подобным же образом определяются пределы функции при и по Коши и по Гейне.