Точки разрыва функции, их классификация

Определение 1. Пусть функция определена на промежутке Х и . Функция называется непрерывной в точке , если

. (18.1)

Равенство (18.1) можно записать иначе: , то есть для непрерывной функции знаки предела и функции можно поменять местами.

Очевидно, что о непрерывности функции можно говорить лишь по отношению к тем точкам , в которых функция определена, то есть существует .

Пользуясь двумя определениями предела функции, можно дать определения непрерывности функции на языке последовательностей и на языке .

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности значений аргумента х, сходящейся к , последовательность соответствующих значений функции сходится к .

Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если для любого найдется , такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Определения 2 и 3 эквивалентны в силу теоремы 1 § 13.

Дадим еще одно определение непрерывности функции в точке – на языке приращений. Для этого положим и назовем эту величину приращением аргумента х, а – приращением функции в точке .

Определение 4. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть .

Последнее условие означает, что , или , или , то есть определение 4 равносильно определению 1, а значит и определениям 2 и 3.

Определение 5. Функция называется непрерывной в точке справа (слева), если ().

Теорема 1. Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке одновременно и справа, и слева.

Доказательство. Поскольку существует тогда и только тогда, когда существуют и равны односторонние пределы и , причем = = = , то тогда и только тогда, когда = = . Теорема доказана.

Определение 6. Функция называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Если , то при этом подразумевается непрерывность в точке справа, а в точке – слева.

Теорема 2. Если функции и непрерывны в точке , то функции тоже непрерывны в точке . Если, кроме того, , то и функция непрерывна в точке .

Доказательство. Следует из теоремы 1 § 15 и определения 1 непрерывности функции в точке. Например, , что и означает непрерывность функций в точке . Остальные случаи рассматриваются аналогично. Теорема доказана.

Теорема 3 (о непрерывности сложной функции). Пусть и пусть существует окрестность точки , в которой определена сложная функция. Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство. В указанной в условии теоремы окрестности возьмем любую последовательность точек , сходящуюся к точке , и пусть . Тогда, в силу непрерывности в точке , , то есть последовательность точек сходится к точке . Поэтому, в силу непрерывности в точке , , то есть .

Теорема доказана.

Определение 7. Точка называется точкой разрыва функции , если определена в некоторой проколотой окрестности точки и не выполняется условие

.

В этом случае говорят также, что функция является разрывной в точке , или терпит разрыв в точке , или имеет разрыв в точке .

Различают три типа точек разрыва.

1) Устранимый разрыв.

Определение 8. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если существует конечный , но либо функция не определена в точке , либо .

Пример 1. Функция имеет устранимый разрыв в точке ,

так как . Этот разрыв можно устранить, изменив значение функции в точке и положив .

Вообще, если в точке функция имеет устранимый разрыв, то достаточно положить , чтобы функция стала непрерывной в точке . Иными словами, для восстановления непрерывности в точке надо изменить значение в этой точке, если , или доопределить в точке , если .

2) Разрыв 1-го рода.

Определение 9. Точка называется точкой разрыва 1- го рода функции , если существуют конечные односторонние пределы и , но . Разность называют величиной скачка в точке .

Пример 2. Пусть Тогда = –1, . и конечны, но не равны, поэтому точка – точка разрыва 1-го рода. Величина скачка равна – = –1 – 0 = –1.

3) Разрыв 2-го рода.

Определение 10. Точка называется точкой разрыва 2- го рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов и не существует или бесконечен.

Пример 3. Пусть . Поскольку , точка – точка разрыва 2-го рода.

Заметим, что , то есть бесконечен один односторонний предел .

Пример 4. Пусть . Тогда не существует, поэтому – точка разрыва 2-го рода.

При исследовании функций на непрерывность полезна

Теорема 4. Любая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Без доказательства.

Напомним, что элементарной функцией называется всякая функция, которая может быть явным образом задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и композиций основных элементарных функций и постоянных, а основными элементарными функциями являются степенная , показательная , логарифмическая , тригонометрические , обратные тригонометрические функции .

Пример 5. Исследуем на непрерывность, непрерывность слева и справа, установим тип точек разрыва функции

Решение. Заметим, что . Поскольку функция не определена при и при , можно говорить только о непрерывности справа в точке и о непрерывности слева в точке . Имеем

функция непрерывна справа в точке ;

функция непрерывна слева в точке .

Если , то – непрерывна как элементарная функция по теореме 4. Поскольку , то в точке функция имеет разрыв 2 рода, причем она имеет разрыв 2 рода в этой точке и слева, и справа.

Если , то – непрерывна как элементарная функция.

Если , то – непрерывна как элементарная функция.

Если , то , , , т. е.

существует , поэтому функция непрерывна в точке .

Если , то , , , т.е. в точке односторонние пределы существуют, но не равны, поэтому в этой точке функция имеет разрыв 1 рода, величина скачка равна 1. Поскольку , то функция в точке непрерывна слева.

Таким образом, функция непрерывна на множестве , непрерывна справа в точке , непрерывна слева в точках и , имеет разрыв 2 рода в точке и разрыв 1 рода в точке , величина скачка в этой точке равна 1.

Теорема 5 (о точках разрыва монотонной функции). Если функция монотонна на интервале , точка является точкой разрыва , то с – точка разрыва 1-го рода.

• • •

Доказательство. Пусть функция не убывает на интервале . Рассмотрим интервал .Для всех значений х имеем , т.е. ограничена сверху. В силу ограниченности сверху множества существует . Покажем, что . Действительно, для всех , так как А – верхняя граница значений . Возьмем произвольно. Поскольку А – точная верхняя граница значений , найдется такое, что . Тогда для тем более в силу возрастания функции. Таким образом, для всех , для и, значит, для , т.е. . Взяв , получим, что для всех х, таких, что имеем . А это и означает, что .

Таким образом, доказано существование .

Аналогично доказывается существование .

В силу существования и , с – точка разрыва 1 рода.

Аналогично рассматривается случай невозрастающей функции.

Теорема доказана.

Таким образом, монотонная функция может иметь только точки разрыва 1-го рода.