Комланарность векторов

Векторы называются компланарными, если они принадлежат одной или параллельным плоскостям.

Линейные операции в координатной форме

1) а = b тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые координаты. a_х=b_x, a_y=b_y, a_x=b_x

2) Для того, чтобы сложить (вычесть) два вектора, надо сложить (вычесть) их одноименные координаты:

3) Чтобы умножить вектор на число, надо умножить на это число все его проекции:

Вопрос

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными.

Условия коллинеарности векторов

Два вектора коллинеарные, если отношения их координат равны.

Два вектора коллинеарные, если их векторное произведение равно нулю.

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b.

Условия ортогональности векторов. Два вектора a и b ортогональны (перпендикулярны), если их скалярное произведение равно нулю a · b = 0

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними.

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами.

Условия компланарности векторов

Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.

Три вектора компланарны если они линейно зависимы.

Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c.

Вопрос

1.Сложение:

т.е. при сложении двух векторов одноимённые координаты складываются.

2.Вычитание:

т.е. при вычитании двух векторов одноимённые координаты вычитаются.

3.Умножение вектора на число:

т.е. при умножении вектора на число все координаты умножаются на это число.

4.Скалярное произведение:

Чтобы выразить скалярное произведение

(1)

в координатной форме, предварительно найдём скалярные произведение ортов. По определению,

Итак, скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату длины вектора. В частности,

Так как векторы

попарно перпендикулярны, то

Теперь выполним умножение векторных многочленов:

Подставляя в правую часть равенства значения соответствующих скалярных произведений ортов, получим

(7)

Из соотношений (6) и (7) следует, что длина вектора выражается равенством

5.Угол между двумя векторами

Из (1), (4) и (7) получаем:

Вопрос

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Определение (нахождение предела функции на бесконечности).

Число А называется пределом функции f(x) при, если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции сходится к А

Предел функции на бесконечности в математическом анализе описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим по модулю.

Вопрос