Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть α(x) и β(x) две бесконечно малые функции при x → x 0 и β(x) отлична от нуля в некоторой окрестности точки х 0 (за исключением, быть может, самой точки х 0). Если
= 0,
то α(x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β(x). В этом случае пишут α(x) = o(β(x)) и говорят α(x) есть о − малое от β(x).
Если
= А ≠ 0 (A - число),
то бесконечно малые α(x) и β(x) имеют одинаковый поряок малости. В этом случае пишут α(x) = O(β(x)), (α(x) есть O - большое от β(x).
Если
= ∞,
то α(x) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β(x).
Если
= 1,
то α(x) и β(x) называется эквивалентными бесконечно малыми, α(x) ~ β(x).
В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот порядок. Поэтому вводится следующее правило: если
,
то α(x) является бесконечно малой n -го порядка относительно β(x).
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций
1. Так как , то в точке х = 0 имеем sin x ~ x, и в этом случае имеет место равенство sin x = x + o(x).
2. Так как , то в точке х = 0 имеем tg x ~ x, и в этом случае имеет место равенство tg x = x + o(x).
3. Так как , то в точке х = 0 имеем arcsin x ~ x, и в этом случае имеет место равенство arcsin x = x + o(x).
4. Так как , то в точке х = 0 имеем arctg x ~ x, и в этом случае имеет место равенство arctg x = x + o(x).
5. Так как
, то , и в этом случае имеет место равенство
6. В точке х = 0 многочлен эквивалентен своему моному младшей степени
.
Поэтому при х = 0 имеем .
Использование теоремы о замене функции на эквивалентную под знаком предела упрощает вычисление предела. Например,
.
7. Так как , то ln (1 + x) ~ x,
и в этом случае имеет место равенство ln (1 + x) = x + o(x).
8. Так как , то
.
9. Так как , то ex ~ 1 + x,и в этом случае имеет место равенство
ex ~ 1 + x + o(x).
10. В случае натурального k имеем
поэтому для натурального k имеем , и в этом случае имеет место равенство
(1 + x) k = 1 + k·x + o(x)
11. Так как
, то ax ~ 1 + x ·ln a, и в этом случае имеет место равенство ax ~ 1 + x ·ln a + o(x)
12. Так как
, то , и в этом случае имеет место равенство
Вопрос
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 462 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!