Решение систем линейных уравнений. Правило Крамера

Правило Крамера – Если главный определитель системы не равен нулю, то система имееот одно единственное решение, которое находится по формулам Крамера. X_i = ΔX_i / Δ

Находим определитель системы: . Определитель отличен от нуля, следовательно, можно применить правило Крамера. Находим дополнительные определители:

Итак,

Ответ:

№3.Матрица,действия над матрицами.

Таблица чисел aij А=()=|| ||=||a_ij||=(a_ij), состоящая из m строк и n столбцов, назыв.прямоугольной матрицей размера m×n. a_ij-элем-ты матрицы. Если m=n, то матрица назыв.квадратной n-го порядка. Матрица А=||a_ij|| это таблица, однако для квадратной матрицы можно рассматривать число |a_ij|=detA=Δ-опред-ль, порождённый этой матрицей. Матрица А назыв. невырожденной если её определител отличен от нуля detA≠0,вырожденной если detA=0. Если элементы квадратной матрицы удовлетворяют условию a_ij=a_ji,то матрица назыв.симметрической. две матрицы А и В равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность и когда равны их соответственные элементы a_ij=b_ij. Матрица, все элем-ты, которой=0 назыв.нулевой. Матрица, получающаяся з данной, путём замены всех строк соответствующими столбцами назыв.транспонированной и обозначается А′. А′=(). Матрица, состоящая из одной строки назыв. матрицей-строкой, а из одного столбца-матрицей-столбцом. В=(),B′=(123) А=(123), А′(). Если в квадратной матрице все элементы расположенные вне главной диагонали=0,то матрица назыв.диагональной, если все элем-ты диагональной матрицы=1, то матрица назыв.единичной и обознач. Е=()-единичная матрица 4-го порядка. Две матрицы наз.однотипными если они имеют одинаковое число строк и столбцов.складывать можно только однотипные матрицы. Сумма двух матриц А=||a_ij|| и В=||b_ij|| наз.матрица С=А+В, где с_ij=а_ij+b_ij. А+В=В+А А+(В+С)=(А+В)+С Умножить матрицу А на число k, это значит умножить каждый её элемент на число k,т.е. k·А=().Очевидно k(A+B)=kA+kB. Произведение матрицы А размерности m×p на матрицу B размерности p×m назыв.матрица “с” размерности m×n,где с_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+…+a_ipb_pj. Из определения следуют: 1)перемножать можно только такие матрицы, у которых число столбцов первой,= числу строк второй. 2)для нахождения элем=та с_ij матрицы с=А*В надо взять i-тую строку матрицы А и j-тый столбец матрицы В. Затем каждый элемент строки умножить на соответствующий элемент столбца и полученные произведения столбца.. Сво-ва произведения матриц. 1)AB≠BA; 2)(A+B)C=AC+BC; 3)A(B+C)=AB+AC; 4)AE=EA=A, Е-единичная матрица. 5)АD=DA=D, D-нулевая матрица. 6)(AB)C=A(BC).

№4.Обратная матрица.

Опр. Матрица А^-1 назыв.обратной к матрице А, если А*А^-1= А^-1*А=Е, где Е-единичная матрица. Обратная матрица существует если 1)матрица А-квадратная 2)если detА≠0 (т.е.А-невырожденная). Обратная матрица находится по формуле А^-1=1/detA*(). А_ij-алгебраические дополнения элем-ов а_ij опред-ля матрицы А, причём алгебраические дополнения элем-ов строк записываются в соответствующие столбцы.

№5. Собственные значения и собственные векторы квадратной матрицы.

Задана квадратная матрица Аn*n

Определение: скалярная величина λ, определяемая из соотношения det(A-∆E)=|A-∆E|=0(***) называется собственным значением матрицы А.

Соотношение *** представляет собой алгебраическое уравнение степени n и называется характеристическим уравнением. Это уравнение имеет n- корней и это значит, что матрица А может иметь n- собственных значений.

Определение: Собственным вектором матрицы А соответствующий собственному значению λ0 называется ненулевой вектор Х размерностью n*1, определяется из системы линейных однородных уравнений: (А- λ0Е)*Х=0(****)

Система **** всегда совместная, потому что всегда имеет нулевое решение. Но эта же система будет иметь и ненулевое решение, поскольку ее определитель равен 0 и r<n.