Теорема 2.1

Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

24.

Признак параллельности прямых

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Через точку вне данной прямой можно пронести прямую, параллельную этой пряиой, и притом только одну. Это утверждение сводится к аксиоме о параллельных в плоскости. Теорема. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны. Пусть прямые b и с параллельны прямой а. Падо доказать, что b || с. Случай, когда прямые а, b и с лежат и одной плоскости, рассмотрен в планиметрии, его опускаем. Предположим, что а, b и с не лежит в одной плоскости. Но так как две параллельные прямые расположены в одной плоскости, то можно считать, что а и b расположены и плоскости , a b и с -- в плоскости (рис. 61). На прямой с отметим точку (любую) М и через прямую b и точку M проведем плоскость . Она, , пересекает по прямой l. Прямая l не пересекает плоскость , так как если l пересекала бы , то точка их пересечения должна лежать на а (а и l — в одной плоскости) и на b (b и l — в одной плоскости). Таким образом, одна точка пересечения l и должна лежать и на прямой а, и на прямой b, что невозможно: а || b. Следовательно, а || , l || а, l || b. Поскольку a и l лежат в одной плоскости, то l совпадает с прямой с (по аксиоме параллельности), а значит, с || b. Теорема доказана.