Степень с действительным показателем

Пусть дано положительное число и произвольное действительное число . Число называется степенью, число — основанием степени, число — показателем степени.

По определению полагают:

• .
• .
• , .

Если и — положительные числа, и — любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:

• .
• .
• .
• .
• .
• .

14. Логари́фм числа по основанию (от греч. λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число»^[1]) определяется^[2] как показатель степени, в которую надо возвести основание , чтобы получить число . Обозначение: , произносится: " логарифм по основанию ".

Из определения следует, что нахождение равносильно решению уравнения . Например, потому что

Вычисление логарифма называется логарифмированием. Числа чаще всего вещественные, но существует также теория комплексных логарифмов.

Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений^[3]. При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь»^[4].