Основное логарифмическое тождество

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество^[7]:

Следствие: из равенства двух вещественных логарифмов следует равенство логарифмируемых выражений. В самом деле, если , то , откуда, согласно основному тождеству:

15. Множество действительных чисел - это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел.

Действительное число или как его еще называют вещественное число - это любое положительное число, отрицательное число или нуль.

Действительные числа разделяются на рациональные и иррациональные.

Вещественные (действительные) числа - это своего рода математическая абстракция, служащая для представления физических величин. Такие числа могут быть интуитивно представлены как отношение двух величин одной размерности, или описывающие положение точек на прямой. Множество вещественных чисел обозначается и часто называется вещественной или числовой прямой. Формально вещественные числа состоят из более простых объектов таких, как целые и рациональные числа.

16. Мнимая единица — обычно комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице. здесь a и b – действительные числа, а i – число нового рода, называемое мнимой единицей.

Сумма действительного и мнимого чисел и называется комплексным числом.

С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились, – это и есть алгебраическая форма комплексного числа.

17. В полярной системе координат на комплексной плоскости число будет определяться парой действительных чисел (рис.1). Из уравнений, связывающих декартовую и полярную системы координат, следует:

(8)

и имеет смысл модуля, а называется аргументом числа , . С использованием (8) число запишется как

(9)

и называется тригонометрической формой записи комлексного числа . Отметим, что аргумент определен с точностью до целого кратного , что записывается как

(10)

Выражение в скобках формулы (9) может быть преобразовано с помощью соотношения:

(11)

которое называется формулой Эйлера и позволяет получить еще один способ записи комплексных чисел

Выражение (12) называется показательной формой записи комплексного числа и является одной из наиболее часто встречающихся в комплексном анализе. Использование символа экспоненты в (11) указывает на то, что эта величина должна обладать и теми же свойствами. Доказательство последнего утверждения будет удобнее рассмотреть на примере.

Пример 1-3. Доказать следующие свойства экспоненты с чисто мнимым показателем:

1. 2. 3.