Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Геометрическая интерпретация неопределенного интеграла

К экзамену по математике для студентов 1 курса ДО

Семестр, 2007-2008 уч. год.

Составитель: к.ф.-м. н. Г.Ф.Ефимова

Неопределенный интеграл

Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Геометрическая интерпретация неопределенного интеграла.

В математическом анализе первоо́бразной (первообра́зной) или примити́вной функцией данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Для примера: F (x) = x ³ / 3 является первообразной f (x) = x ². Так как производная константы равна нулю, x ² будет иметь бесконечное количество первообразных; таких как x ³ / 3 + 45645 или x ³ / 3 − 36 … и т. д.; таким образом семейство первообразных функции x ² можно обозначить как F (x) = x ³ / 3 + C, где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально друг относительно друга, и их положение зависит от значения C.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то:

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде интеграла без указания пределов:

Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G (x) = F (x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, которая представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, с f (0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную с F (0) = 0.

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

Первообразная функция.

Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

Неопределенный интеграл.

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

[an error occurred while processing this directive]

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства: 1.

2.

3.

4. где u, v, w – некоторые функции от х.

6.

Интегральное исчисление решает обратную задачу по отношению к дифференциальному исчислению: по данному дифференциалу, а следовательно, и производной неизвестной функции F(x), требуется определить эту функцию.

Пусть известна функция f(x) и нужно по данной функции определить F(x) таким образом, чтобы

dF(x) = f(x)dx

или соответственно . (1.1)

Для простоты будем предполагать, что равенство (1.1) выполнено на некотором промежутке (конечном или бесконечном).

Определение 1.1. Пусть функция f определена на некотором промежутке, т.е. на отрезке, интервале или полуинтервале числовой оси. Функция F, определенная на этом же промежутке называется первообразной функции f, если выполнено (1.1) для каждого х из указанного промежутка.

Очевидно, что если F является первообразной для f на <a,b>, то функция F+ C (C-Const), также является первообразной для f на <a,b>.

Действительно,

[F(x) + C]' = F'(x) = f(x), х Î<a,b>. (1.2)

Теорема 1.1. Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на некотором промежутке <a,b>, отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть F и Ф - две первообразные для f на некотором промежутке <a,b>, т.е. F'(x) = f(x) и Ф'(x) = f(x), но тогда

[F(x) - Ф(х)]' = 0, х Î<a,b> и, следовательно,

F(x) = Ф(х) + С тогда они отличаются на некоторую константу.

Геометрическая интерпретация.

у = F(x)+C

tga = F'₁(x) = F'₂(x) = f(x),

F₁(x) - F₂(x) = C.

С л е д с т в и е. Прибавляя к какой - либо первообразной F(x) для данной функции, определенной на <a,b>, всевозможные постоянные С получим все первообразные для f(x).

Рис. 1.1