Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины

Законом распределения дискретной двумерной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т. е. пар чисел (x_i,y_j) и их вероятностей p (x_i,y_j) (i= 1, 2 ,....,n; j = 1, 2 ,....,n). Обычно закон распределения задают в виде таблицы с двойным входом (табл. 2).

Первая строка таблицы содержит все возможные значения составляющей X, а первый столбец — все возможные значения составляющей Y. В клетке, стоящей на пересечении «столбца хi» и «строки у_j», указана вероятность p (x_i,y_j) того, что двумерная случайная величина примет значение (x_i,y_j).

Так как события (Х=x_i, Y=y_j) (i= 1, 2 ,....,n; j = 1, 2 ,....,n) образуют полную группу (см. гл. II, § 2) то сумма вероятностей, помещенных во все клетки таблицы, равна еденицы.

Таблица 2

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из составляющих. Действительно, например, события (Х=х ₁, Y=у ₁), (Х=х ₁, Y=у ₂),.... (Х = x ₁ , Y=у_т) несовместны, поэтому вероятность Р (х ₁) того, что X примет значение х ₁, по теореме сложения такова:

Р (х ₁) = р (х ₁, у ₁) + р (х ₁, у ₂) +...+р (х ₁, у_т).

Таким образом, вероятность того, что X примет значение х ₁ равна сумме вероятностей «столбца х ₁». В общем случае, для того чтобы найти вероятность Р (X =x_i), надо просуммировать вероятности столбца x_i. Аналогично сложив вероятности «строки y_j», получим вероятность P (Y=y_i).