Эмпирическая функция распределения

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Введем обозначения: n _х - число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее x; n - общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события X < x равна п_х/п. Если x изменяется, то, вообще говоря, изменяется и относительная частота, т. е. относительная частота п_х/п есть функция от х. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F* (x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события X < х.

Итак, поопределению,

F* (x) = п_х/п,

где п_х - число вариант, меньших x; п - объем выборки. Таким образом, для того чтобы найти, например, F* (x ₂), надо число вариант, меньших x ₂, разделить на объем выборки:

F* (x ₂) = п_{x 2} /п.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F (х) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F (x) определяет вероятность события X < x, а эмпирическая функция F* (x) определяет относительную частоту этого же события. Из теоремы Бернулли следует, что относительная частота события X < x, т.е. F* (x) стремится по вероятности к вероятности F (x) этого события. Другими словами, при больших n числа F* (x) и F (x) мало отличаются одно от другого в том смысле, что .Уже отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.

Такое заключение подтверждается и тем, что F* (x) обладает всеми свойствами F (x). Действительно, из определения функции F* (x) вытекают следующие ее свойства:

1) значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0, 1];

2) F* (x) - неубывающая функция;

3) если x ₁ - наименьшая варианта, то F* (x) = 0 при x≤x ₁; если x_k - наибольшая варианта, то F* (x) = 1 при x>x_k.

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Пример. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

варианты x_i 2 6 10

частоты n_i 12 18 30

Решение. Найдем объем выборки: 12 + 18 + 30 = 60. Наименьшая варианта равна 2, следовательно,

F*(x) = 0 при x ≤ 2.

Значение X < 6, а именно x ₁ = 2, наблюдалось 12 раз, следовательно,

F* (x) = 12/60 = 0,2 при 2 < x ≤ 6

Значения X < 10, а именно x ₁ = 2 и х ₂ = 6, наблюдались 12 + 18 = 30 раз, следовательно,

F* (x) = 30/60 == 0,5 при 6 < x ≤10.

Так как х =10 - наибольшая варианта, то F* (x) = l при x > 10.

Искомая эмпирическая функция

График этой функции изображен на рис 19.