Производная

При некотором значении x функция имеет значение y = f (x). Этим значениям x и y на кривой соответствует точка M 0(x, y). Если аргументу x дать приращение D x, то новому значению аргумента x + D x соответствует новое значение функции y+ D y = f (x + D x). Соответствующей ему точкой кривой будет точка M 1(x + D x, y + D y). Если провести секущую M 0 M 1 и обозначить через j угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox, из рисунка непосредственно видно, что .

Если теперь D x стремится к нулю, то точка M 1 перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке M 0, и угол j изменяется с изменением D x. При Dx ® 0 угол j стремится к некоторому пределу a и прямая, проходящая через точку M 0 и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол a, будет искомой касательной. Ее угловой коэффициент:

.

Следовательно, f ´(x) = tga

т.е. значение производной f ´(x) при данном значении аргумента x равняется тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f (x) в соответствующей точке M 0(x, y) с положительным направлением оси Ox.