Регулярный эксперимент. Информация Фишера.Св-ва. Теорема о рег-ти прямого произв.регулярн. экспериментов

Пусть x1..xn выборкаиз P(ро)={Pθ:θ€ΘcR}-сем-во однопарам, существ мера μ доминирующая сем-во P(ро) μ>>P(ро) с плотностями Pθ условие регулярности:

Эксперимент (сем-во) наз-ся реулярным если1) Pθ непрерывно дифф-мо по θ 2) В условиях сем-ва допускаются диффер-ное под знаком ∫:

∂\∂θ∫Pθ(x~)μ(dx)=∫∂Pθ(x~)/∂θ*μ(dx)=0 3) Существ I(θ): I(θ)€(0..∞); I(θ)=∫[(Pθ’(x~))²/Pθ(x) ]*μ(dx)=∫(Pθ’(x)/Pθ(x))²*Pθ(x)

[pθ’(x)=pθ(x)/∂θ]; μ(dx)=Eθ[(lnpθ(x~))’]²;pθ(x~)=L(x,θ)-ф-ция правдоп.

8) Выборка из нормального распределения. Представление Хи-квадрат распределения с помощью нормальных. Распределение Стьюдента. Распределение Фишера-Снедекора.

Пусть выборка из N(0, 1).

Введем некоторые распределения, используемые в матстатистике.

Рассмотрим случайную величину . Говорят что имеет -распределение (или распределение Пирсона) с n степенями свободы. Плотность распределения величины имеет вид

где - гамма – функция Эйлера, определяемая равенством

Семейство -распределение является подмножеством двухпараметрического семейства гамма-распределений Г(b,p), p,b 0, с плотностями

При b=1/2, p=n/2, n N. Известное свойство, что сумма двух независимых гамма-распределений Г(b,p) и Г(b,q) снова имеет гамма-распределение Г(b,p+q), здесь следует непосредственно из представления в виде суммы квадратов незвис нормальных величин.

Пусть сл. в. Y независима от . Рассмотрим случайную вел-ну Распределение величины T_n называется распределением Стьюдента с n степенями свободы. Соответствующая плотность распределения имеет вид

Отметим, что плотность распределения Стьюдента симметрична относительно нуля.

Распределения Фишера-Снедекора F(n₁,n₂) определяется как распределение сл. в. независимы и распределены как и . Плотность распределения Фишера- Снедекора представляется в виде