Понятие функции. Разные трактовки понятия функции

Понятие функции является одним из основных понятий математики вообще и школьной математики в частности. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Общее определение функции, которое мы называем теперь «классическим», сформировалось в математике не очень давно – лишь в начале прошлого века.

Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.

а) Опр. Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если значению х соответствует единственное значение у.

х – независимая переменная, аргумент

у – зависимая от х переменная, функция

Все значения, которые принимает х, называются областью определения f, значения у – множеством значения.

Например:

у = х², где 1 ≤ х ≤ 3

у(1) = 1² = 1 у(3) = 3² = 9

1 ≤ х ≤ 3 Д(у) =

1 ≤ у ≤ 9 Е(у) =

Генетическая трактовка понятия функции основана на понятиях:

переменная величина,

функциональная зависимость переменных величин,

формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных),

декартова система координат на плоскости

Логическая трактовка понятия функции:

понятие функции выводится из понятия отношения,

функция выступает в виде отношения специального вида между двумя множествами.

б) Чтобы задать функцию нужно указать способ, с помощью которого для значение аргумента можно найти соответствующее значение функции. Чаще всего используют формулу у = f (х), где f (х) – некоторое выражение с переменной х.

в) На практике часто используют табличный метод задания функции.

При этом способе составляется таблица х и вычисляются соответствующие значения у, например, таблицы Брадиса, квадратов, кубов, корней.

д) Если на координатной плоскости отметить все точки, обладающие свойством у = f (х), то их множество составит график функции.

Для построения графика составляют таблицу, строят точки, соединяют их плавной линией.

е) Четные и нечетные функции.

Функция вида f (х) = f (-х) – четная

f (х) = - f (-х) – нечетная

Графики симметричны относительно 0у и центра.

Построить у = /х/ (четная), у = х/х/ (нечетная).

ж) Функция f (х) называется возрастающей, если для любых х₂ > х f (х₂) > f (х₁) и убывающей, если для любых х₂ > х₁ f (х₂) < f (х₁)

з) Виды функций:

1) у = в – постоянная

2) у = kх – пр. пр.

3) у = kх + в – линейная

4) у = – обр. пр.

5) у = х³ – кубическая

6) у = х² – квадратичная

7) степенная с четным показателем у = х^2п

8) степенная с нечетным показателем у = х^{2п + 1}

9) у = – арифметический корень

10) у = - корень п-й степени

11) у = - модуль х

12) у = ; дробная часть числа это разность между числом и его целой частью.

у = ; целая часть числа это целое число не превосходит числа х.

13) у = а^х – показательная а > 0, а 1

свойства.

14) у = log_ах – логарифмическая х > 0, а > 0

свойства – обратная показательной, а 1

15) тригонометрические.

и) Преобразование графиков.

Действия	Аргумент	Функция
+ (–) а	Параллельный перенос влево (вправо) по оси Ох на а единиц	Параллельный перенос вверх (вниз) по оси Оу на а единиц
х (:) а	Сжимается (растягивается) в а раз по оси Ох	Вытягивается (сжимается) по оси Оу вверх и вниз в а раз