Вывод из теоремы Стокса

Рассмотрим дифференциальную форму .

Тогда, используя свойство дифференциала дифференциальной формы :

Отсюда, используя теорему Стокса:

25) Элементы комбинаторики.

Комбинато́рика (Комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и имеет широкий спектр применения в различных областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике).

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Иногда под комбинаторикой понимают более обширный раздел дискретной математики, включающий, в частности, теорию графов.

· Структурная комбинаторика - данный раздел, относящийся к некоторым вопросам теории графов, а также теории матроидов.

· Перечислительная комбинаторика (или исчисляющая комбинаторика) рассматривает задачи о перечислении или подсчёте количества различных конфигураций (например, перестановок) образуемых элементами конечных множеств, на которые могут накладываться определённые ограничения, такие как: различимость или неразличимость элементов, возможность повторения одинаковых элементов и т. п.

· Теория Рамсея изучает наличие регулярных структур в случайных конфигурациях элементов. Примером утверждения из теории Рамсея может служить следующее:

в группе из 6 человек всегда можно найти трёх человек, которые либо попарно знакомы друг с другом, либо попарно незнакомы.

· Вероятностная комбинаторика - какова вероятность присутствия определённого свойства у заданного множества.

· Топологическая комбинаторика (англ.) применяет идеи и методы комбинаторики в топологии, при изучении дерева принятия решений, частично упорядоченных множеств, раскрасок графа и др.

· Инфинитарная комбинаторика (англ.) — применение идей и методов комбинаторики к бесконечным (в том числе, несчётным) множествам.

26) Классическое определение вероятности события. Теоремы сложения, умножения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ (классическое определение вероятности). Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Итак, вероятность события А определяется формулой:

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Свойства:

· Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m=n, следовательно, P(A)=m/n=n/n=1.

· Вероятность невозможного события равна нулю.

В этом случае m=0, следовательно, P(A)=m/n=0/n=0

· Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0<m<n, значит 0<m/n<1, следовательно,