![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
23) Векторное и скалярное поле. Градиент. Дивергенция поля. Циркуляция векторного поля. Формула Стокса.
Определение 1: Если в каждой точке M(x,y,z) некоторой области V пространства (или плоскости) определена скалярная функция u = u(M), то говорят, что в области V задано скалярное поле u = u(M) = u(x,y,z).
Примерами скалярных полей являются: поле температуры T внутри тела, поле потенциала электрического заряда, поле плотности тела и т.д.
Определение 2: Если в каждой точке M(x,y,z) некоторой области V пространства (или плоскости) определен вектор
то говорят, что в области V задано векторное поле
Примерами векторных полей являются: поле скоростей текущей жидкости, поле электрической напряженности
, поле магнитной напряженности
и т.д.
Важнейшими характеристиками скалярных и векторных полей являются градиент (grad)скалярного поля, дивергенция(div) и ротор(rot) векторного поля.
Определение 3: Градиентом дифференцируемого скалярного поля u(M)=u(x,y,z) называется вектор
Т.е. сумма частных производных умноженных на соответствующие единичные вектора.
Определение 4: Дивергенцией (или расходимостью) дифференцируемого векторного поля называется скаляр
Определение 5: Ротором (или вихрем) дифференцируемого векторного поля называется вектор
который с помощью символической записи удобно представить в виде векторного произведения
Операторы grad, div,rot называются основными операторами теории поля.
В качестве примеров использования операторов градиента скалярного поля, дивергенции и ротора векторного поля приведем формулу связи напряженности и потенциала
электростатического поля:
и систему уравнений Максвелла для стационарного электромагнитного поля:
1)
2)
3)
4)
Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа.
Пусть — кусочно-гладкая поверхность (p=2) в трёхмерном евклидовом пространстве (n=3), F — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура
равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность
, ограниченную контуром:
или в координатной записи:
24) Поток через замкнутую поверхность Формула Остроградского-Гаусса.
Дата публикования: 2015-01-24; Прочитано: 216 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!