Не писал, так как все в лекции должно быть и там просто ппц, по другому

23) Векторное и скалярное поле. Градиент. Дивергенция поля. Циркуляция векторного поля. Формула Стокса.

Определение 1: Если в каждой точке M(x,y,z) некоторой области V пространства (или плоскости) определена скалярная функция u = u(M), то говорят, что в области V задано скалярное поле u = u(M) = u(x,y,z).

Примерами скалярных полей являются: поле температуры T внутри тела, поле потенциала электрического заряда, поле плотности тела и т.д.

Определение 2: Если в каждой точке M(x,y,z) некоторой области V пространства (или плоскости) определен вектор

то говорят, что в области V задано векторное поле

Примерами векторных полей являются: поле скоростей текущей жидкости, поле электрической напряженности , поле магнитной напряженности и т.д.

Важнейшими характеристиками скалярных и векторных полей являются градиент (grad)скалярного поля, дивергенция(div) и ротор(rot) векторного поля.

Определение 3: Градиентом дифференцируемого скалярного поля u(M)=u(x,y,z) называется вектор

Т.е. сумма частных производных умноженных на соответствующие единичные вектора.

Определение 4: Дивергенцией (или расходимостью) дифференцируемого векторного поля называется скаляр

Определение 5: Ротором (или вихрем) дифференцируемого векторного поля называется вектор

который с помощью символической записи удобно представить в виде векторного произведения

Операторы grad, div,rot называются основными операторами теории поля.

В качестве примеров использования операторов градиента скалярного поля, дивергенции и ротора векторного поля приведем формулу связи напряженности и потенциала электростатического поля: и систему уравнений Максвелла для стационарного электромагнитного поля:

1)

2)

3)

4)

Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа.

Пусть — кусочно-гладкая поверхность (p=2) в трёхмерном евклидовом пространстве (n=3), F — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность , ограниченную контуром:

или в координатной записи:

24) Поток через замкнутую поверхность Формула Остроградского-Гаусса.