Операций и элементарных функций

Почти всегда искомая величина y зависит от параметров а ₁, a ₂ ,..., a_N, которые по своей природе являются приближенными числами. Возникает задача отыскания погрешности функции y=F (а ₁, a ₂ ,...,a_N)по известным погрешностям а_к., k =1… N.

Своеобразие приближенных чисел состоит в том, что их значения нельзя рассматривать как постоянные – они могут меняться в пределах их абсолютных погрешностей: а_к = х_к ± a_к. Эта особенность позволяет применить к приближенным числам понятия дифференциального исчисления.

Пусть х_к – истинные значения некоторых чисел, а а_к – их приближенные значения.

Абсолютная погрешность функции тогда

C другой стороны, разлагая в ряд Тейлора, имеем

.

Тогда

где

Отсюда следует оценка где

в области

Часто пользуются линейной оценкой погрешности:

.

Выражение для относительной погрешности имеет вид

.

Проведем конкретную оценку для простейших функций.

1. Сложение. .

.

Видно, что относительная погрешность суммы не превосходит наибольшей относительной погрешности слагаемых.

2. Вычитание. ; a_k > 0.

Абсолютная погрешность при вычитании равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого. Видно, что относительная погрешность при вычитании близких чисел может быть весьма велика (½ а ₁ – а ₂½ – мало). Поэтому на практике всегда следует избегать вычитания близких чисел, при необходимости преобразовывая выражения. Неприятности могут случиться даже в простых случаях, что иллюстрирует приведенная ниже таблица 1.1. Число , взятое с разной степенью точности, использовано для расчета выражения и равносильных ему. Результаты могут ошеломить неподготовленного человека!

Таблица 1.1 – Вычитание близких чисел

Ö2	7/5=1,4	17/12=1,41(6)	1,414	1,4142	1,41421356
(Ö2–1)6	0,004096	0,005233	0,00503503	0,00504964	0,005050633883
(3–2Ö2)3	0,008	0,004630	0,00500045	0,00505303	0,005050633883
(5Ö2–7)2		0,0069(4)	0,00490	0,0050410	0,005050633883
99–70Ö2		–0,1(6)	0,020	0,0060	0,005050633883

3. Умножение.

Относительная погрешность произведения равна сумме относительных погрешностей сомножителей.

4. Дел е ние.

Относительная погрешность частного равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя.

5. Степень. (m – const).

Относительная погрешность степени равна относительной погрешности основания, умноженного на показатель.

6. Логарифм.

Абсолютная погрешность натурального логарифма равна относительной погрешности аргумента.