Источники и классификация погрешностей

Решение, полученное при помощи метода математического моделирования, обычно является приближенным, то есть содержит некоторую погрешность[2], привносимую на каждом этапе.

Источники погрешностей:

1) погрешность математической модели (несоответствие математической модели изучаемому реальному явлению) и погрешность исходных данных;

2) погрешность метода решения;

3) погрешность вычисления.

Пусть R – точное значение результата решения некоторой задачи. Из-за несоответствия построенной математической модели реальной ситуации, а также по причине неточности исходных данных вместо R будет получен результат, который обозначим R ₁. Образовавшаяся таким образом погрешность e ₁ = R – R ₁ уже не может быть устранена в ходе последующих вычислений и поэтому называется неустранимой погрешностью.

Приступив к решению задачи в рамках выбранной математической модели, мы избираем какой-нибудь численный метод и, еще не начиная вычислений, допускаем новую погрешность, приводящую к получению результата R ₂ (вместо R ₁). Погрешность e ₂ = R ₁ – R ₂ называется погрешностью метода.

И наконец, неизбежность округления при счете на компьютере приводит к получению результата R ₃, отличающегося от R ₂ на величину вычислительной погрешности e ₃ = R ₂ – R _3.

Полная погрешность есть сумма всех погрешностей:

e = e ₁ + e ₂ + e ₃ = R – R ₃.

Чтобы получить представление о точности окончательного результата, необходим анализ погрешностей всех видов. Численный метод может считаться удачно выбранным, если его погрешность e ₂ в несколько раз меньше неустранимой погрешности e ₁, а вычислительная погрешность e ₃ в несколько раз меньше погрешности метода: e ₁ > e ₂ > e ₃.

С другой стороны, при решении большинства задач нет особого смысла применять метод решения с погрешностью, существенно меньшей, чем величина неустранимой погрешности, то есть оценка величины неустранимой погрешности может служить удобным поводом для понижения требований к точности последующих вычислений.