Миньков С.Л., Миньков Л.Л

С.Л. Миньков, Л.Л. Миньков

ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Учебное пособие

Миньков С.Л., Миньков Л.Л.

Основы численных методов: Учебное пособие. – Томск: Издательство ТГУ, 2002. – с.

Ó Миньков С.Л., Миньков Л.Л. 2002

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………
1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТИ………...
1.1 Источники и классификация погрешностей……………….
1.2 Абсолютная и относительная погрешности……………….
1.3 Погрешность результатов арифметических операций и элементарных функций…………………………………………
1.4 Обратная задача теории погрешности……………………..
2 АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ………………………………
2.1 Понятие аппроксимации…………………………………….
2.2 Вычисление значения полиномов по схеме Горнера……..
2.3 Аппроксимация некоторых трансцендентных функций с помощью рядов………………………………………………….
2.4 Экономизация степенных рядов при помощи полиномов Чебышева……………………………………………….………..
2.5 Дробно-рациональные приближения………………………
2.6 Постановка задачи интерполирования……………………..
2.7 Интерполяционный полином Лагранжа………………...…
2.8 Интерполяционный полином Ньютона…………………….
2.9 Интерполирование функций многих переменных………...
2.10 Нелинейная интерполяция………………………………...
2.11 Обратное интерполирование………………………………
2.12 Интерполирование сплайнами…………………………….
2.13 Аппроксимация по методу наименьших квадратов……..
2.13.1 Квадратичное аппроксимирование обобщенными полиномами………...……………………………………...…
2.13.2 Метод наименьших квадратов в нелинейном случае………………………………………………………....
3 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ………………………………………….
3.1 Получение формул численного дифференцирования путем аппроксимации……………………………………….…..
3.1.1 Получение формул численного дифференцирования с помощью рядов Тейлора…………………….………….....
3.1.2 Получение формул численного дифференцирования с помощью интерполяционного полинома Лагранжа……..
3.1.3 Получение формул численного дифференцирования с помощью интерполяционного полинома Ньютона……...
3.2 Метод неопределенных коэффициентов получения формул численного дифференцирования ……………………..
3.3 Метод Рунге оценки погрешности и получения формул численного дифференцирования ………………..……………..
3.4 О некорректности операции численного дифференцирования……………………………………………..
3.5 Численное интегрирование: понятие квадратурных формул……………………………………………………………
3.5.1 Формула прямоугольников…………………………....
3.5.2 Формула трапеций……………………..………………
3.5.3 Формула Симпсона…………………………………….
3.6 Оценка погрешности методом Рунге. Автоматический выбор шага интегрирования………………………………….…
3.7 Метод неопределенных коэффициентов получения квадратурных формул………………..…..……………………...
3.8 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса…………………
3.9 Квадратурные формулы Гаусса…………………………….
3.10 Некоторые частные случаи квадратурных формул Гаусса…………………………………………………………….
3.10.1 Формула Гаусса-Чебышева………………..………...
3.10.2 Формула Гаусса-Лежандра…………………..………
3.10.3 Формула Гаусса-Лагерра……………………..……...
3.10.4 Формула Гаусса-Эрмита……………………..………
3.11 Приближенное вычисление несобственных интегралов...
3.11.1 Вычисление интегралов с бесконечными пределами интегрирования…...….………………………….
3.11.2 Вычисление интегралов от неограниченных функций………………………………………………………
3.12 Приближенное вычисление кратных интегралов. Метод Монте-Карло……………………………………………..
4 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ………………………………………………………
4.1 Общие сведения……………………………………………..
4.2 Метод Гаусса………………………………………………...
4.3 Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители. Схема Халецкого..………………………………...
4.4 Вычисление определителя и обратной матрицы…………..
4.5 Метод прогонки……………………………………………...
4.6 Плохо обусловленные системы. Мера обусловленности…
4.7 Итерационные методы решения СЛАУ……………………
4.7.1 Метод простых итераций……………………………...
4.7.2 Метод Зейделя………………………………………....
4.7.3 Метод релаксаций……………………………………..
4.8 Нахождение собственных значений………………………..
4.8.1 Метод Леверрье………………………………………..
4.8.2 Метод неопределенных коэффициентов построения характеристического полинома…………………………….
4.8.3 Итерационный способ одновременного нахождения собственных значений и собственных векторов…….…….
5 РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ……..
5.1 Уравнение с одним неизвестным…………………………..
5.1.1 Метод половинного деления………………………….
5.1.2 Метод хорд………………………………………….…
5.1.3 Метод простых итераций……………………………..
5.1.4 Модифицированный метод простых итераций……...
5.1.5 Метод Ньютона………………………………………..
5.1.6 Метод секущих………………………………………...
5.1.7 Метод Чебышева построения итераций высших порядков……………………………………………………...
5.1.8 Нахождение корней полиномов………………………
5.2 Системы нелинейных уравнений…………………………...
5.2.1 Метод простых итераций……………………………...
5.2.2 Метод Ньютона……………………………..………….
5.2.3 Методы спуска………..………………………………..
6 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ……………………………………………………….
6.1 Общие сведения……………………………………………...
6.2 Разностная схема Эйлера……………………………………
6.3 Методы Рунге-Кутта………………………………………...
6.4 Многошаговые методы Адамса…………………………….
6.5 Неявные разностные формулы……………………………..
6.6 Жесткие задачи………………………………………………
6.7 Краевые задачи………………………………………………
6.7.1 Конечно-разностные методы………………………….
6.7.2 Метод стрельбы………..………………………………
6.7.3 Сведение линейной краевой задачи к двум задачам Коши………………………………………………………….
6.7.4 Метод Ньютона для нелинейной краевой задачи…....
ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………...