Абсолютная и относительная погрешности

Пусть х – точное значение некоторой величины, которое может быть известно или неизвестно.

Число а, которое можно принять за значение величины х, называется приближеннымчислом.

Абсолютная погрешность приближенного числа есть модуль разности между истинным значением величины и ее приближенным значением.

Обычно имеют дело с предельной абсолютной погрешностью

a_а ³ | х – а |.

Абсолютная погрешность числа не дает, вообще говоря, сведений о точности того или иного измерения. Например, a_а = 0,5 м – хорошо при измерении расстояния между городами, но плохо при измерении длины стола. Поэтому вводят понятие относительной погрешности. Предельная относительная погрешность d_а определяется формулой:

d_а ³ a_а / | a |.

Любое положительное число х можно записать в виде десятичной дроби:

x = z ₁ × 10 ^m +z₂ × 10 ^{m – 1} +...+z_n × 10 ^{m – n + 1} +...,

где z ₁, z ₂,..., z_n,... – цифры числа х (0, 1, 2,..., 9), а m – некоторое целое число (старший десятичный разряд числа х).

Например: 68,95...=6×10¹ +8×10⁰ +9×10^–1 +5×10^–2 +...

На практике мы имеем дело с приближенными числами:

а = z ₁ ×10 ^m +z ₂ ×10 ^{m –1} +...+z_n × 10 ^{m – n –1}.

Значащей цифрой приближенного числа называется всякая цифра в его десятичном изображении, отличная от нуля, и нуль, если он содержится между значащими цифрами или является представителем сохраненного десятичного разряда.

Все остальные нули, служащие лишь для обозначения его десятичных разрядов, не считаются значащими цифрами.

Пример 1. Число 0,00123040. Первые три нуля – не значащие цифры. 1, 2, 3, 0, 4 – значащие цифры (нуль стоит между значащими цифрами), последний нуль – значащая цифра, так как указывает на то, что в приближенном числе сохранен десятичный разряд 10^–8. Если же последняя цифра не является значащей, то это число следует записывать в виде: 0,0012304. Так что эти две записи не равноценны: в первой 6 значащих цифр, во второй – 5.

Пример 2. Записи больших чисел. Здесь могут возникнуть неясности, если использовать обычную запись, например, 123000 – по этому виду нельзя сказать, сколько в числе значащих цифр (их не меньше трех, по крайней мере), так как неясно происхождение трех последних нулей: или это обозначение разрядов, или результат округления. Поэтому используется другая форма записи: если число имеет три значащие цифры, то 1,23×10⁵, если четыре, то 1,230×10⁵ и так далее. Эта форма записи удобна и для записи чисел, содержащих большое число незначащих нулей:

0,00001230 = 1,230×10^–5.

Значащая цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа не превышает половины единицы разряда, соответствующего этой цифре, т.е. если

,

то первые n цифр z ₁, z ₂ ,..., z_n в этом числе являются верными.

Пример 3. 68,95 = 6×10¹ +8×10⁰ +9×10^–1 +5×10^–2.

Здесь m = 1; n = 4, поэтому a_а =0,5×10^–2 =0,005.

Таким образом, имеем связь между абсолютной погрешностью и числом верных знаков.

Что касается связи между относительной погрешностью и числом верных знаков, то существует строгая теорема [1]. Приведем лишь некоторые грубые оценки.

Пусть задано n, нужно найти d _а.

Пример 4. а =2,72 (число е с тремя верными знаками). n = 3; z ₁ = 2. Тогда d_а £ 0,0025.

Пусть задано d_а, найти n.

Запишем вспомогательное неравенство:

.

Чтобы число имело n верных знаков, необходимо, чтобы

.

Тогда ³ ; .

Пример 5. Записать а» е с d_а =10^–5.

В соответствии с последним неравенством 2 × (2+1) × 10 ^{– 5} £ 10 ^{–(n – 1)};6×10 ^–5 £ 10 ^–4; поэтому – (n –1) =– 4; Þ n= 5, т.е. е» 2,7182.