ВВЕДЕНИЕ. Среди методов научного познания человеком окружающего мира ведущее место занимает метод математического моделирования

Среди методов научного познания человеком окружающего мира ведущее место занимает метод математического моделирования, сводящий исследование объектов, процессов, явлений к решению математических задач. Реальный объект заменяется его знаковой, математической моделью, формулируемой в виде уравнений, соотношений. Особую силу, наглядность и широту применения он получил с развитием новых информационных технологий, основанных на высокопроизводительной вычислительной технике. Процесс исследования математических моделей с помощью ЭВМ стал называться вычислительным экспериментом.

Построение модели – неизбежный компромисс между учетом всех факторов, играющих роль в данной задаче, и сохранением математической модели достаточно простой, чтобы ее можно было решить имеющимися в нашем распоряжении средствами. Иными словами, модель – субъективное отображение объективной действительности.

Пусть требуется исследовать некоторый физический процесс. Рассмотрим основные этапы проведения математического моделирования и вычислительного эксперимента (рис.1).

1. Анализируется предметная область, проводится декомпозиция изучаемого процесса на простейшие составляющие, формулируются основные законы, управляющие этим процессом, и строится математическая модель. Это запись законов в дифференциальном, интегральном, алгебраическом виде. При этом пренебрегают факторами, не оказывающими существенного влияния на ход процесса.

2. На основе выбранного численного метода создается дискретная модель математической модели, пригодная для реализации на компьютере, и записывается алгоритм ее реализации.

3. Используя какой-либо язык программирования, составляется и отлаживается программа для компьютера.

4. Проводятся параметрические исследования модели и анализируются результаты.

5. Полученные результаты проверяются на их соответствие исследуемому явлению, и при необходимости вносятся коррективы в математическую модель или в численный метод.

Отметим, что возврат на предыдущие этапы может происходить на каждом этапе с целью уточнения и дополнения.

Следует также отметить, что одной и той же математической задаче можно поставить в соответствие множество различных дискретных моделей. Но они должны отвечать определенным требованиям, которые можно разбить на две группы.

Рис.2. Требования к численным методам

Первая группа связана с адекватностью дискретной модели исходной математической задаче и включает в себя:

– сходимость численного метода, корректность, устойчивость;

– выполнение дискретных аналогов законов сохранения (консервативность).

Сходимость. Дискретная модель математической задачи – это система большого числа алгебраических уравнений. Обычно чем больше уравнений, тем точнее решение. Говорят, что численный метод сходится, если при неограниченном увеличении числа уравнений решение дискретной задачи стремится к решению исходной задачи. На практике это, конечно, недостижимо, поэтому важно уметь оценивать погрешность метода.

Корректность. Пусть исходная математическая задача поставлена корректно, то есть ее решение существует и оно единственно. Дискретная модель должна сохранить это свойство, то есть в понятие корректности численного метода включается однозначная разрешимость соответствующей системы уравнений.

Устойчивость. Под устойчивостью понимают непрерывную зависимость решения от входных данных, то есть малое приращение исходных данных приводит к малому приращению результата.

Консервативность. Известно, что дифференциальные уравнения математической физики являются следствиями интегральных законов сохранения. Поэтому естественно требовать, чтобы для дискретной модели, например разностной схемы, выполнялись аналоги законов сохранения. Разностные схемы, удовлетворяющие этому требованию, называются консервативными. Оказалось, что при одном и том же числе точек разбиения консервативные разностные схемы более правильно отражают поведение решения исходной задачи, чем неконсервативные.

Вторая группа связана с реализуемостью численного метода на компьютере, т.е. с возможностью получения решения за приемлемое время. Реальные вычислительные алгоритмы должны учитывать ограниченность оперативной памяти компьютера и ограниченные ресурсы времени счета, то есть они должны быть экономичными – как по числу арифметических действий, так и по требуемому объему памяти.

Круг задач, с которыми приходится сталкиваться в вычислительной математике, очень широк. Однако можно отметить одну общую идею методов решения этих задач.

Многие математические задачи можно компактно записать в операторной форме:

y=A (x), xÎ X, yÎ Y,

где X,Y – некоторые пространства, A (x)– некоторый оператор.

Основной подход к решению таких задач численными методами – замена пространств X и Y и оператора A некоторыми другими пространствами и оператором , более удобными для вычислительных целей. Замена должна быть сделана так, чтобы решение новой задачи

было в каком-то смысле близким к точному решению исходной задачи и его можно было бы отыскать возможно проще[1].

Проиллюстрируем это на примере.

Пусть нужно вычислить «неберущийся» интеграл

, f (t) Î C,

где С – пространство непрерывных функций.

Способ 1. Заменим f (t) полиномом P (t), равномерно приближающим функцию f (t) на [ a, b ] с необходимой точностью. Тогда легко найти

.

Таким образом, здесь, не меняя функционала (интеграл), заменили пространство С пространством многочленов: .

Способ 2. Интеграл заменим интегральной суммой, которую можно построить так, чтобы она была достаточно близка к значению интеграла:

.

Здесь функционал А (интеграл) заменяется на функционал (сумма): .

Обоснованию этих (и других) способов, рассмотрению соответствующих формул численных методов решения задач аппроксимирования, дифференцирования, интегрирования функций, решения систем линейных и нелинейных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений и посвящено настоящее учебное пособие.