Метод Ньютона

Этот метод обладает гораздо более быстрой сходимостью, чем метод простых итераций.

Недостатки: 1) очень важен удачный выбор начального приближения для обеспечения хорошей сходимости; 2) сходимость ухудшается с увеличением числа уравнений системы.

Метод Ньютона можно применить, если могут быть вычислены все частные производные функций f_i по переменным x_j: .

Процесс начинается с задания произвольного начального приближения . Далее разлагаем функцию f в ряд Тейлора в окрестности точки :

,

где – матрица Якоби, составленная из частных производных:

.

Ограничиваясь линейным приближением, имеем

.

Чтобы найти следующее приближение к решению системы , решаем систему уравнений

.

Для нахождения k- го приближения решаем систему

.

Эту систему уравнений можно переписать для поправки D x ^{( k +1)}= x ^{( k +1)} – x ^{( k )}:

(5.15)

Разумеется, решение можно записать и в другом виде – непосредственно для x ^{( k +1)}:

, (5.16)

напоминающем форму записи итерационной схемы для одного нелинейного уравнения. Но систему линейных уравнений, как правило, решать проще, чем искать обратную матрицу , так как процесс нахождения обратной матрицы связан с решением n систем линейных алгебраических уравнений.

Из этой записи видно еще одно ограничение, накладываемое на метод Ньютона – матрица Якоби должна быть неособенной, т.е. ее определитель, называемый якобианом, должен быть отличен от нуля.

В качестве примера получим итерационные формулы метода Ньютона для решения системы двух уравнений:

Матрица Якоби:

.

Обратная ей матрица: , где матрица называется присоединенной. Она составлена из алгебраических дополнений матрицы J (x).

.

Перемножим матрицу на вектор f (x):

.

Следовательно, формулы (5.16) примут вид:

,

.