Решение дифференциальных уравнений в пакете Mathcad

Для решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений используется функция rkfixed(y, x1, x2, npoints, D), реализующая известный метод Рунге-Кутта. Эта функция имеет следующие аргументы:

1. y - вектор начальных значений искомых решений. Его размерность n, где n - порядок дифференциального уравнения или число уравнений в системе;

2. х 1, х 2 - граничные точки интервала, на котором осуществляется поиск решения дифференциальных уравнений;

3.npoints - число точек (не считая начальной точки), в которых находится приближенное решение. При помощи этого аргумента определяется число строк (1+npoints) в матрице, вычисляемой функцией rkfixed;

4. D (x, y) - векторная функция из n элементов, содержащих первые производные неизвестных функций.

В результате решения получается матрица, имеющая два столбца: 1) первый столбец содержит точки аргумента; 2) второй столбец содержит значения искомой функции.

Для того чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка необходимо выполнить следующие операции.

1. Определить вектор начальных значений искомых решений.

2. Определить функцию D (x, y), содержащую первую производную.

3. Выбрать точки аргумента, в которых необходимо получить решение.

4. Записать функцию rkfixedи определить матрицу Z как решение ОДУ, записав Z:= rkfixed(y, x 1, x 2, npoints, D).

5. Вывести решение в виде матрицы, напечататав Z =.

На рис. 2.17 приведены все этапы решения дифференциального уравнения первого порядка +3× y = 0c начальным условием y (0) = 4.

Дифференциальные уравнения более высокого порядка решаются аналогично ОДУ.

y ₀:= 4 – начальное значение;

D (x, y):= -3· y ₀ – функция, содержащая первую производную;

Z:= rkfixed(y, 0, 4, 100, D) – матрица решения;

I:= 0… rows (Z)-1 – построение графика решения.

Рис. 2.17. Решение дифференциального уравнения первого порядка