Задача Коши. Численные методы решения обыкновенных

Численные методы решения обыкновенных

Дифференциальных уравнений

Основные понятия

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции. Их можно записать в виде

(2.31)

где x – независимая переменная.

Наивысший порядок n входящей в уравнение (2.31) производной называется порядком дифференциального уравнения.

В ряде случаев из общей записи дифференциального уравнения (2.31) удается выразить старшую производную в явном виде. Например,

, .

Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной.

Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производных. Например, - линейное уравнение первого порядка.

Решением дифференциального уравнения (2.31) называется всякая функция , которая после ее подстановки в уравнение превращает его в тождество. Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n -го порядка содержит n произвольных постоянных , т.е. общее решение уравнения (2.31) имеет вид

. (2.32)

Частное решение дифференциального уравнения получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения.

Например, дифференциальное уравнение первого порядка имеет решение , где C – произвольная постоянная. При различных значениях постоянной C получается семейство кривых (рис. 2.11). Выбор начального значения при (обычно ) позволяет выделить из этого семейства одну определенную кривую, т.е. найти частное решение.

Через каждую точку в области решения уравнения при проходит не одна интегральная кривая. Поэтому, для выделения частного решения из общего нужно задавать столько дополнительных условий, сколько произвольных постоянных в общем решении, т.е. каков порядок уравнения.

y

y ₀

0 x

Рис. 2.11. Семейство кривых общего интеграла

В зависимости от способа задания дополнительных условий для получения частного решения дифференциального уравнения существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача.

Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями, а точка , в которой они задаются, - начальной точкой.

Если же дополнительные условия задаются в более чем одной точке, т.е. при разных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. Сами дополнительные условия называются при этом граничными (или краевыми) условиями. На практике обычно граничные условия задаются в двух точках x = a и , являющихся границами области решения дифференциального уравнения.

Приведем примеры постановки задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Задача Коши:

.

Краевые задачи:

.

Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на следующие группы: графические, аналитические, приближенные и численные.

Графические методы используют геометрические построения. В частности, одним из них является метод изоклин для решения дифференциальных уравнений первого порядка.

С некоторыми аналитическими методами вы знакомы по курсу дифференциальных уравнений. Для ряда уравнений первого порядка удается получить решения в виде формул путем аналитических преобразований.

Приближенные методы используют различные упрощения самих уравнений путем обоснованного отбрасывания некоторых содержащихся в них членов, а также специальным выбором классов искомых функций.

В этом разделе мы будем рассматривать численные методы решения дифференциальных уравнений, которые в настоящее время являются основным инструментом при исследовании научных задач, описываемых дифференциальными уравнениями.

Наиболее распространенным и универсальным численным методом решения дифференциальных уравнений является метод конечных разностей. Его сущность состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргумента (например, отрезок) заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами. Эти узлы составляют разностную сетку. Искомая функция непрерывного аргумента приближенно заменяется функцией дискретного аргумента на заданной сетке. Эта функция называется сеточной. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. При этом для входящих в уравнение производных используются соответствующие конечно-разностные соотношения. Такая замена дифференциального уравнения разностным называется его аппроксимацией на сетке (или разностной аппроксимацией). Совокупность разностных уравнений, аппроксимирующих исходное дифференциальное уравнение, начальные условия и дополнительные условия на границе, называется разностной схемой. Таким образом, решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки.

Решение разностной задачи, в результате которого находятся значения сеточной функции в узлах сетки, приближенно заменяет решение исходной дифференциальной задачи. Однако не всякая разностная схема дает удовлетворительное решение, т.е. получаемые значения сеточной функции не всегда с достаточной точностью аппроксимируют значения искомой функции в узлах сетки. Здесь важную роль играют такие понятия, как устойчивость, аппроксимация и сходимость разностной схемы.

Под устойчивостьюсхемы понимается непрерывная зависимость ее решения от входных данных (коэффициентов уравнений, правых частей, начальных и граничных условий). Или, другими словами, малому изменению входных данных соответствует малое изменение решения. В противном случае разностная схема называется неустойчивой.

Разностная схема называется корректной, если ее решение существует и единственно при любых входных данных, а также если эта схема устойчива. В теории разностных схем доказывается, что если разностная схема устойчива и аппроксимирует исходную дифференциальную задачу, то она сходится. Иными словами, из устойчивости и аппроксимации разностной схемы следует ее сходимость.

Задача Коши

Требуется найти функцию, удовлетворяющую уравнению

(2.33)

и принимающую при заданное значение . При этом будем для определенности считать, что решение нужно получить для значений .

Из курса дифференциальных уравнений известно, что решение задачи (2.33) существует, единственно и является гладкой функцией, если правая часть уравнения (2.33), являющаяся функцией двух переменных удовлетворяет некоторым условиям гладкости. Будем считать, что эти условия выполнены и существует единственное гладкое решение .

Для решения задачи Коши (2.33) будем использовать разностные методы. Введем последовательность точек и шаги (i = 1, 2, …). В каждой точке , называемой узлом, вместо значений функции ) вводятся числа , аппроксимирующие точное решение на данном множестве точек. Функцию , заданную в виде таблицы , называют сеточной функцией.

Далее, заменяя значение производной в уравнении (2.33) отношением конечных разностей, осуществляем переход от дифференциальной задачи (2.33) относительно функции к разностной задаче относительно сеточной функции :

(2.34)

.

Здесь разностное уравнение (2.34) записано в общем виде, а конкретное выражение его правой части зависит от способа аппроксимации производной.

Если в правой части (2.34) отсутствует , т.е. значение явно вычисляется по предыдущим значениям , то разностная схема называется явной. При этом получается -шаговый метод: - одношаговый, - двухшаговый и т.д., т.е. в одношаговых методах для вычисления используется лишь одно ранее найденное значение на предыдущем шаге , в многошаговых – многие из них.

Если в правую часть уравнения (2.34) входит искомое значение , то решение этого уравнения усложняется. В таких методах, называемых неявными, приходится решать уравнение (2.34) относительно с помощью итерационных методов.